Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа Ч.2
 
djvu / html
 

Глава I
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ § 1. Целые алгебраические числа
1. Целым алгебраическим числом называется число, удовлетворяющее неприводимому уравнению с целыми рациональными коэфициентами, причем коэфициент при ' старшем члене равен единице.
2. Докажем, что число, являющееся корнем какого бы то ни было уравнения с целыми рациональными коэфициентами и единицей при старшем члене, есть целое алгебраическое число, т. е. что то неприводимое уравнение, корнем которого является это число, будет того же типа. Для этого достаточно доказать следующую теорему Гаусса:
Теорема!. Если полином a0-|-«i-*-- . . . -f an_^xn~1-\--4- хп с целыми рациональными коэфициентами разлагается на два множителя с рациональными коэфициентами :a0-j-
-\-хи)(с0-{- с^х-}- ... -fc^x""1 ~{-x1');(u-{-v = n), токо-эфициент ы blt Cj этих множителей суть тоже целые рациональные числа.
Доказательство. Допустим противное: пусть коэфициенты, представленные в виде несократимых дробей, содержат в знаменателях простой множитель/? самое большее в s-ой степени (s > 0), и пусть bk будет первый из этих коэфициентов, содержащих в знаменателях точно /?*. Пусть также коэфициенты Cj содержат в своих знаменателях р самое большее в ?-ой степени (г>.0) и пусть с, будет первый из этих коэфициентов,. содержащих
в своих знаменателях точно р{. Рассмотрим коэфициент
4-A-i
В этом выражении слагаемое bkcr будет содержать в знаменателе точно />8 + *, в то время как остальные слагаемые должны содержать в знаменателях меньшие, чем ($-{-?)-ая степени. В самом деле, слагаемые первой строки суть произведения чисел t>k + {, содержащих в знаменателях /? в степенях ^s,

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150


Математика