Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа Ч.2
 
djvu / html
 

70 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ [гл. I
простой множитель р, то р было бы для K(\fd) критическим простым числом, так как число \Jd не делится на р, а его квадрат делится. Поэтому в d может входить множителем только 2, и мы приходим к трем следующим возможным типам квадратичных полей с единственным критическим числом 2:
К (/=!), K(f^, #(v/2). (9.7)
Из этих полей только третье вещественно.
6. Пусть К — циклическое поле 2л-ой степени с единственным вполне критическим числом /. Построим другое поле Кг того же типа, взяв делитель поля lh+:-ux корней из единицы, принадлежащей к ее подгруппе порядка / — 1. В случае 1=2 возьмем поле 2Л+2-ых корней из единицы. Оно имеет степень 2Л+1. Его группа есть прямое произведение циклических групп порядков 2й и 2. К последней принадлежит вещественное циклическое поле 2А-ой степени (см. часть I, стр. 111 — 112, § 2.5). Так как существует только одно (в случае /=2 притом вещественное) поле /-ой степени с единственным критическим простым числом /, то поля К и Кг содержат общее поле ?/-ой степени (ведь группы инерции, соответствующие другим, не вполне критическим простым числам поля К, являются делителями подгруппы порядка /й~1 его группы Галуа, в силу чего эти простые числа не являются критическими для К). Поэтому композит ККг имеет степень lh+h', где h'^h — 1. Обозначая через А тот автоморфизм поля АУС2, который, будучи применен к полю Ка, воспроизводит его примитивный (т. е. порядка lh) автоморфизм, мы убедимся, что порядок А равен 1Н (так как /л-ая степень всякого автоморфизма поля ККа воспроизведет среди величин К и Кг тождественный автоморфизм, а потому она не будет менять и величин поля ККг). Разлагая группу © поля ККъ на сопряженные системы по подгруппе
91 = 1 4- А +Л8 + . . . -f Alh~ I' ;© = 21
и нормируя элементы Bt так, чтобы они составили группу (см. часть I, стр. 43 — 44, теорема 30,2), мы разложим группу © на прямое произведение:
Элемент А группы © воспроизводит также автоморфизм поля k, в силу чего поле Къ, принадлежащее внутри ККг к 91, не содержит поля k. Поэтому поля Къ и К* взаимно просты (их общее -иррациональное поле содержало бы поле степени /, а таковым у Кг является только К) и, будучи степеней lh и lh', воспроизводят все поле КК%. Таким образом величины поля К рационально выражаются через величины поля Kz, т. е. череа

 

1 10 20 30 40 50 60 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 90 100 110 120 130 140 150


Математика