Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа Ч.2
 
djvu / html
 

40 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ [г*. I
Мы видели в § 3.17, что этот базис можно выбрать в виде
Нч = а<ю шо
1*1 = alu га- 1, г <»!--...-- а» -1. n-i a>n_i.
Нетрудно убедиться, что представителями классов по модулю а могут служить следующие числа:
А>«>о + ?1<»1-{----+с»-1шга-ь (4.4)
где ct пробегает значения 0, 1,2,. .., |a,-,| — I (i — О, 1,...,л — 1). Действительно, с одной стороны, всякое число поля может быть последовательным прибавлением кратностей Цп-ъ V-n-2, . ...Hit v-o приведено к виду (4.4). С другой стороны, два числа вида (4.4) не могут иметь разность, входящую в идеал а, т. е. представляемую через базис (4.3), так как, если эта разность равна /о «о +/1Ш1 + •••+./>*> где /^0, то [/il< \ан\> а потому она не может входить в а, так как, согласно данному в § 3.17 определению, [аи есть наименьшее из чисел \ft\ такого рода, что /o«o+/i Ш1 + -. '+//ш< входит в а. Число представителей (4.4) равно |a00an. .. an-i, n-ij, т. е. определителю подстановки (4.3).
Утверждение справедливо также для случая произвольного , базиса, так два различных базиса одного и того же идеала переходят друг в друга при помощи целочисленных подстановок, произведение которых равно тождественной подстановке, в силу чего определители этих подстановок должны быть равны ±:1.
2. Теорема 18 справедлива для случая главного идеала. Действительно, если а есть совокупность чисел, делящихся на числа а, то его базисом служит [aa>0, aaj, . ..amn_i]. Поэтому число классов по модулю о равно определителю подстановки
аш0 = с00 о)0 + CQI °>i + • . • + с о, п - 1 о> п - г aa>i == С19 св0 + Си "»i + . . . -}- С 1, п - 1 a> n - 1
Но из этих соотношений можно получить для а следующее уравнение:
CQQ — (X, Св1,..., Со, га— 1 ], п —
и — 1,0,
откуда следует, что |ЛГ(а)| равно этому самому определителю.
3. Теорема 18 справедлива для случая простого идеала.
В самом деле, пусть простой идеал $Р есть делитель простого

 

1 10 20 30 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150


Математика