Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа Ч.2
 
djvu / html
 

20 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ ; {гл. I
Доказательство. 1. Условие необходимо, так как в случае |W(e)| > 1 норма числа -j , равная т^-т , является правильной!
дробью, в силу чего — не может быть целым числом.
• : ' 2. Условие достаточно. В самом деле, если N(s) = ^l, то в удовлетворяют уравнению вида
. вГ+Ъ e»-i-f ...-f flrn
Тогда *1 = — будет корнем уравнения4 -
где a»-i,...,ui, 1 целые числа. Отсюда следует, что ц есть целое алгебраическое число, ч. и т. д.
' ' 2, Если целое алгебраическое число а может быть представлено в виде произведения двух множителей: а = рг, и при. этом |Л/(Р)!>'1. IWfr)]^-!, то такое разложение мы будем назы^ вать существенным. В этом случае можно было бы сказать, что а не есть npocfoe число. Случай же, когда один из множителей есть .алгебраическая единица, должен считаться тривиальным, так как любое целое а можно представить как про-
изведение двух целых чисел as и — , где «—[произвольная еди-
ница поля. Разлагая множители РИГИ продолжая процесс, мы; замечаем, что получающиеся множители имеют все меньшие нормы.' Но так как число целых рациональных чисел, меньших данного числа, ограничено, то после конечного числа шагой мы придем к разложению числа а на множители, ,ие поддайэ-щиеся дальнейшему-разложению. Такие множители не играют» однако, той роли, которую играют простые числа в теории рациональных, полей, так как разложение алгебраических чисел на неразложимые, множители не всегда однозначно. 'V
Пример: Дано поле К(\/— 5). 3 нем
хЕсли бы число 9 разлагалось однозначно, то каждое #з чисел 3, 2 4:\/ — 5 должно было бы допускать дальнейшее разложение. Из того, что внутри K(\j— $) ' ,
следует, что нормы чисел, на которые разлагались бы 3,2 ± должны быть равны 3. Вместе с тем фундаментальный базис црля К" (yds) есть [1, yCZs) (см. § 2, 8), а потому каждый
множителей этих чисел должен иметь вид х-}-у\/— 5, где у— ^ целые рациональные числа. Итак, должно иметь место
- 5) = х- •+ 5 у

 

1 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150


Математика