Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа Ч.2
 
djvu / html
 

150 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ [гл. II
Таким образом значение символа j характеризует принадлежность Ф к определенному автоморфизму относительного поля
Теорема Гильберта может быть формулирована так: Теорема 46. Дано t целых чисел поля k:
аь а2, . . . , а,, притом так, что произведение
может только тогда быть 1-ой степенью числа из k, если каждое из чисел тъ т%, ... ,mt делится на /. Произвольно задав t 1-ых корней из единицы:
можно найти в k бесчисленное множество простых идеалов $, удовлетворяющих условиям
Доказательство. Будем искать ф среди простых идеалов первой степени (/—1); иначе говоря, эти идеалы будут внутри k принадлежать к единичному автоморфизму.
Предварительно докажем, что поле k($i, р2, •••,&) имеет степень /' относительно k, если
_ Pi = у/«ь Ра
Если бы эта степень была ниже, то одно из уравнений z1 — ^ = 0, 2г — а2 = 0, ..., zl — а^ = 0
должно было быть приводимым в поле, образованном из k присоединением корней остальных уравнений. В силу нормальности этого уравнения, оно должно распасться на множители одинаковых степеней; но так как / есть простое число, то степени могут быть только первыми.
Поэтому каждый корень этого уравнения рационально выражается через корни остальных уравнений.
Пусть каждое из первых v уравнений остается неприводимым после присоединения корней остальных уравнении, в то время как pv + i рационально выражается через рь р2, • ..,PV :
Pv + i = ?(Pi, Pi,...,pv). (6.45)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159


Математика