Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа Ч.2
 
djvu / html
 

120 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ {гл. II
§ 4. Функция Дедекинда 1. Дедекинд ввел в рассмотрение функцию
\~', (4-1)
в которой а пробегает все идеалы заданного алгебраического поля k. Для тех_значений s, для которых ряд сходится, (если таковые значения имеются), мы получим, рассуждая, как в § 3, следующее разложение этой функции в произведение:
С, (s) = V \N (а) | - • = — : -- 1 - г . (4.2)
-
Произведение правой части сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд SIAfC$)|-s. Но \N(^)\=Pf, и число различ-
^ ных идеалов, имеющих нормой степень одного итого же числа/»,
не превышает степени поля п. Поэтому имеет место неравенство
показывающее, что при5>1 этот ряд сходится. Значит, произведение в правой части формулы (4.2) остается при s>l ограниченным. Отсюда следует, что и ряд в левой части (4.2) ограничен при s>l, а потому в силу положительности своих членов он сходится.
2, Чтобы изучить поведение функции ?ft(s) вблизи точки s = l, разобьем сумму (4.1) на h частичных сумм (А— число идеальных классов поля К), в каждой из которых суммирование распространено на все идеалы, входящие в один определенный идеальный класс поля k. Выберем в каждом из h идеальных классов по представителю: а1( л2, ... , аА, Тогда, если Ь пробегает все идеалы класса, противоположенного классу идеала а, то произведение а Ь пробегает все главные идеалы, делящиеся на а. Другими словами, это произведение пробегает делящиеся на а.{ целые числа поля k, и притом из всех ассоциированных чисел каждое только один раз.
Найдем предел
i^' (4.3)
где Tt — число идеалов класса, обратного классу лг, норма которых не превышает положительного числа t. Для этого рассмотрим базис [\>-0, н^ ..... N-i] идеала а. Если Ь идеал, удовлетворяющий этим требованиям, то ab ассоциирован

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 140 150


Математика