Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Ходж В. Методы алгебраической геометрии Т.3
 
djvu / html
 

90 ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
так что i = 9t. Так как мы предположили, что t есть собственный идеал в SR, то налицо противоречие. Отсюда следует, что 9Г • i не является единичным идеалом. Таким образом, SR* • i — собственный идеал.
Пусть теперь {* — собственный идеал кольца 9t*. Если С — любой ненулевой элемент из i*, то он является целым относительно SR, и поэтому справедливо равенство
С» + а1С»-1 +...+«„ = О,
в котором ai ? №. Если здесь ат+1 = йто+2 = • • • = fl» = 0, но д„, =? О, то
С»-» (с* _|_ a^rn-i + . . . -j- ej = о.
Так как С отличен от нуля, a 9t* — область целостности, то
c»+fllr»-i_j_...+eM=o.
Следовательно, мы можем предполагать, что ап ^= 0. Ввиду того, что
элемент ага должен принадлежать i*. Поэтому О? П i* не является нулевым идеалом кольца 9t. Предположим теперь, что SRnt*^^. Тогда
Но, в силу теоремы VI § 4,
Г • (К П f) = i*.
Следовательно, i*:=9f{*, вопреки условию. Таким образом, Otni* есть собственный идеал кольца 5R.
Так как мы предположили, что 5И* есть конечный 9t- модуль, то к нему можно применить теорему V § 4 и ее следствие. Из этих результатов вытекает, что если р — простой идеал в 9t, то
1>
Кроме того, если
gr-p = [q;. .... q;i,
где идеалы q* ^^-примарны, то идеалы 9tfl^ являются делителями)), причем хотя бы для одного значения i будет Jft П q* = !Й П ^ = ? • Мы можем уточнить этот результат в том случае, когда кольцо iftj, цело-замкнуто в его поле частных.
Предположим, что 9tp целозамкнуто. Тогда, в силу теоремы IV, 9Т ? 9tp. Пусть q* — та из компонент идеала ЭР-р, радикал которой р* сжимается в р, т. е. такая компонента, для которой
яп*>:=».
Покажем, что

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370


Математика