Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Ходж В. Методы алгебраической геометрии Т.3
 
djvu / html
 

60 ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
поля частных кольца ЭТ, содержащихся во всех кольцах частных, можно не рассматривать кольца 31$, так как элементы 9^ необходимо лежат в $R9. Поэтому достаточно рассматривать лишь кольца частных для максимальных идеалов.
Очевидно, что каждый элемент кольца 9t лежит в любом кольце частных. Пусть теперь S — любой элемент поля частных кольца 9J, лежащий в кольцах частных 9t по всем его простым идеалам. Пусть ? = а0/р„, где а0 и |30 — элементы 91. Если 60 является делителем единицы в 9J, то E?9t Если же 30 не является делителем единицы, то St • (80) есть собственный идеал кольца (R. Пусть
где идеалы qf р,-примарны. Элемент (•, по предположению, содержится в 9^. Следовательно, 5 = я1/31, где а, и PJ-— элементы 9J, причем pj не лежит в pt. Следовательно, 8j не принадлежит также qp а значит, и идеалу 91 • (60). Поэтому
Я.(ро)е=Я-(Ро. &)•
Если идеал Ы • (30, 8j) не единичный, положим
а-(Р„, ^) = [< ..... <].
где идеалы qj р^-примарны. Так как 5 лежит в кольце частных идеала и' то можно записать ? = ав/3„, где а„ и 3„ — элементы 9i,
ГА л'>й л<й
причем Р2 не содержится в ^. Отсюда, как и выше, следует, что
91 • (ft» 8t)c: Таким образом можно построить последовательность идеалов «Я • (S0, р,)с81 - (ft,, Вр 3.2)с
обрывающуюся лишь в том случае, если она заканчивается единичным идеалом. Но в силу теоремы VI § 1, эта последовательность должна оборваться. Поэтому найдется такое г, что
Поэтому должны существовать элементы р0, . . . , рг из 9t, удовлетворяющие соотношению
Но S3« ==«j (^=-0, ••-. г). Следовательно,
т. е. элемент I содержится в Я. Это и доказывает теорему.
Наша заключительная теорема устанавливает перестановочность операций образования колец частных и колец вычетов. Пусть 3t — область целостности, р — простой идеал из 9t и i — произвольный идеал

 

1 10 20 30 40 50 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370


Математика