Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Ходж В. Методы алгебраической геометрии Т.3
 
djvu / html
 

SO ГЛ- XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ И КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
Тогда можно проверить, что
1 = дщГп=Ю.(ж, у) и у = 9Г.1 = Г. (x,
Так как i с j*, то t с: 9J П Г, а значит, ввиду включения J* с {*, будет 9t П Г ? SR П t* = t. Следовательно, имеет место равенство 91 П i* = 91П i*. Таким образом, доказана
Т е о р е м а VI. Если i*—любой идеал кольца № и f = 9Т • (Щ П t"), то j* с i* и 91П Г = 9t Л i*. Идеал \* является наименьшим идеалом в 8Г, сжимающимся в 9t П i*; j* кратен любому идеалу из 9Г, сжимающемуся в 01П t".
Идеал i* кольца 9Г называется идеалом расширения, если он равен некоторому SR" • t±, где ^— идеал кольца ЭТ. Если г* — любой
идеал из 91*, то идеал i = 81* • (Щ П t*) называется идеалом расши -рения, связанным с идеалом tj. Аналогично, идеал i из 9t называется идеалом сжатия, если он равен некоторому 81 fit*, где {* — идеал из 81*. Если it— любой идеал в 81, то идеал г = 8ЯП(9Г • t,) называется идеалом сжатия, связанным с t1.
Каждый идеал сжатия из Щ является сжатием одного и только одного идеала расширения из 91*. Действительно, пусть i = 9tf|t*— произвольный идеал сжатия из 9?. Если (2 = 31* • t, то (теорема VI) 9t П ta = 9? П ti = t, так что i является сжатием идеала расширения \z. Если is = 9t • jj — другой идеал расширения, удовлетворяющий условию i = Щ П tj, то из теоремы IV следует, что Щ* • jt = Щ* • i, так что is = {2- Точно таким же образом можно доказать, что каждый идеал расширения из 9?* является расширением в точности одного идеала сжатия из 9t. Следовательно, справедлива
Теорема VII. Между идеалами сжатия из Ж и идеалами расширения из 91* имеется взаимно однозначное соответствие. Если идеалы i и t* отвечают друг другу в этом соответствии, то i* = 81* • i и i — 9t П i*- Идеал i является единственным идеалом сжатия, расширяющимся до i*, a i" — единственным идеалом расширения, сжимающимся в i.
Теорема VIII. (I) Если \, \ — идеалы сжатия из 81, то [t, jl и i: j также являются идеалами сжатия.
(II) Если f, f — идеалы расширения из 9Г, то (i*, f) и ff также являются идеалами расширения.
(I) Мы можем записать i = 91П t*. j = 81П f. где t" = 81* • t, f = 9i"'j;.. В силу утверждения (III) теоремы II, имеем
it, i] = 3tnit*, fi-
Таким образом, идеал [t, j] является идеалом сжатия.
В силу утверждения (V) теоремы I, 9J* • (i: j) с i* : f. В силу же утверждения (V) теоремы II,
9ln(t*:j*)St:t.

 

1 10 20 30 40 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370


Математика