Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Ходж В. Методы алгебраической геометрии Т.3
 
djvu / html
 

290 ГЛ. XVIII. ВИРАЦИОНАЛЬНЫЁ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ___________
были бы в состоянии извлечь из такого преобразования всю необходимую информацию о строении особой точки. К несчастью, проблема построения нужного для этого преобразования имеет тот же порядок трудности, что и построение свободного от особенностей бирациональ-ного образа заданного многообразия. Однако частный результат такого рода, имеющий фундаментальное значение как для указанных выше вопросов, так и для ряда других, дается следующей теоремой:
Локальная теорема об у ниформ и за цип. Пусть U — неприводимое алгебраическое многообразие, S — его поле функций и 23— нормирование поля Е, имеющее размерность s. Если центром нормирования 23 на многообразии U язляется подмногообразие V, то существует такой бирациональный образ U' многообразия U, на котором центром нормирования 23 является простое подмногообразие V размерности s. При этом Q(V)cQ(Vf).
Хотя мы не имеем в виду заниматься изучением кратных точек алгебраических многообразий, можно кратко указать, как сформулированный результат может служить для исследования изолированной особой точки Р алгебраического многообразия U, определенного над полем комплексных чисел. Воспользуемся неоднородными координатами и допустим, что точка Р имеет координаты (0, ..., 0), а общая точка многообразия U — координаты (?t, ,.., ?„). Пусть 23 — любое нульмерное нормирование поля функций S многообразия U, имеющее точку Р своим центром на многообразии U. Тогда, в силу сформулированной теоремы, существует бирациональный образ V для U, на котором центр нормирования 23 будет простой точкой Р', причем Q(P) с Q(Pf). Пусть tv . . ., td — униформизирующие параметры в точке Р'. Так как ^ ? Q (Р) с Q (Р'), то элементы ^ можно разложить в степенные ряды по ?,,..., t&. Полученные таким образом ряды будут сходиться в некоторой конечной окрестности N(23) точки Р' на многообразии {]'. Рассмотрим теперь совокупность нульмерных нормирований 23 поля S, имеющих точку Р своим центром на U, и связанные с этими нормированиями окрестности N(23). Можно показать, что существует конечное число таких окрестностей, скажем A/(23t), . . ., Л/(23/с), обладающих тем свойством, что любое нульмерное нормирование с центром в точке Р на многообразии U имеет простой центр в одной из окрестностей' N (23»). Каждому из взятых нормирований 23j соответствует некоторое разложение в ряды для tv .. ., ?„, определяющее „частичную окрестность" или „лист" многообразия {/в точке Р. Эти „листы" покрывают полную окрестность точки Р на U. Существование такого покрытия окрестности точки Р на многообразии U конечным числом „листов" составляет основу анализа особенности в точке Р.
Мы докажем локальную теорему об униформизации в следующих параграфах, а затем воспользуемся ею для получения некоторых важных результатов об устранении особенностей алгебраического многообразия. Доказательство этой теоремы, хотя оно и является

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 310 320 330 340 350 360 370


Математика