Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Ходж В. Методы алгебраической геометрии Т.3
 
djvu / html
 

280 ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Если V—неприводимое подмногообразие на С, имеющее размерность f и простое как на С, так и на U, то многообразие T[V\ неприводимо и является простым подмногообразием как на U', так и на Т[С\. Размерность многообразии T[V] равна d—1—e-j-/. Любое подмногообразие V на T\V], отвечающее V, является простым подмногообразием как на T[V], так и на Т [С] и на U'.
Если положить V=C, то из этой теоремы следует, что многообразие Т\С\ неприводимо и является простым подмногообразием на U', причем каждое подмногообразие на U', отвечающее С, будет простым как на U1', так и на Т[С\.
Прежде чем доказывать теорему V, установим два предварительных результата, упрощающих доказательство. Покажем сначала, что если теорема верна в случае, когда / = 0, то она верна и при любом значении / (не превышающем е).
Без ограничения общности можно считать, что х0 не равно нулю на V, а значит, не равно нулю на С и на U. Пусть р — простой идеал многообразия V в кольце 3 = К [5lf .... ?„], а ф — идеал многообразия С. Так как р имеет размерность /, то мы можем считать, опять-таки без ограничения общности, что элементы ^ . .., \f алгебраически независимы по модулю р над полем К. Тогда, в силу включения ф с р, элементы Elt .. ., \f алгебраически независимы также
по модулю ф. Обозначим через Q поле К(^, ...,?/>), а через U многообразие в пространстве An_f над полем Q, общей точкой которого является точка (?^+1, ..., ?и). Так как элементы \Г ..., -^ алгебраически независимы над полем К, то многообразие U имеет размерность d—/. Введем обозначение 3* = 2[(^.и, •••. ?«] и рассмотрим идеалы р* = "У • р и *$>* = 3* • Ф в кольце 3*- Как и в § 4 гл. XVI, можно показать, что эти идеалы просты, а их размерности равны соответственно нулю и е—/. Кроме того, если V к С—неприводимые подмногообразия на U, определяемые этими идеалами, то их кольца частных Q(V) и Q(C) совпадают соответственно с кольцами Q(V) и Q(C). Поэтому, в частности, Q(V) <=, Q(C), а значит, V^C. Ясно также, что имеют место равенства р = 3 П р* и ф = 3 Л $*•
Нам дано, что многообразие С есть простое подмногообразие на U и что V—простое подмногообразие на С и на (У. Эти свойства можно выразить следующим образом:
(I) Максимальный идеал кольца Q(C) имеет базис, состоящий из d — e=z(d—/) — (е—/) элементов.
(II) Максимальный идеал кольца Q(V) имеет базис, состоящий из d—/ элементов.
(III) Максимальный идеал кольца частных для кольца 3/^Р относительно идеала р/ф имеет базис, состоящий из е—/ элементов.
Но Q(C) = Q(C) и Q(V) = Q(V). Так как многообразия U и С имеют размерности соответственно d—/ и е—/, то из (I) и (И)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 300 310 320 330 340 350 360 370


Математика