Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Ходж В. Методы алгебраической геометрии Т.3
 
djvu / html
 

230 ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
§ 5. Центр нормирования
В § 4 мы рассматривали некоторые свойства нормирований полей функций алгебраических многообразий. Однако эти свойства относились к абстрактно заданному полю и не имели отношения к геометрии того многообразия, для которого рассматриваемое поле построено. Теперь мы рассмотрим неприводимое многообразие Va в пространстве Sn, имеющее размерность d над основным полем К, и изучим связь между нормированием 33 поля функций ? многообразия Vd и геометрией этого многообразия. Результаты этого параграфа составляют основу, на которой базируется применение теории нормирований к алгебраической геометрии.
Пусть (С0, • • • , С„) — координаты общей точки многообразия Vd. Отношения Ci/Cj- содержатся в поле функций ?, но сами Сг могут умножаться на произвольный элемент любого расширения этого поля. Потребуем, однако, чтобы CQ ..... Сге лежали в поле ?. Пусть 23 — некоторое нормирование поля I, a k — -целое число, для которого
«(*) О (У (i = о, ..-, я).
Рассмотрим множество однородных многочленов f(x0 ..... xn) над полем К, удовлетворяющих условию
г» [/(Со ..... OlXwfcfc). (1)
где т — степень многочлена f(x0, ..., хп). Если f(x0, ..., хп) и g(x0, . . ., хп) — многочлены одной и той же степени, обладающие указанным свойством, то
г» [/Со. .... С„) — г(Со. -.., Си)]>
>min {v [/(Со ..... Сй), г;[?(С0, . . ., С»)]} > «
Далее, если а(л:0, . . ., хп) — любой однородный многочлен степени г, то норма элемента и (Со, • • •, С„) не может быть меньшей, чем наименьшая из норм его отдельных членов. Но так как v (C/j)<; v (C$), то отсюда следует, что
Поэтому
v \а (С0, . . . , СЙ)/(С0, .... Сй)] >(m + r)v (СЛ).
Таким образом, однородные многочлены f(x0, . . ., хп), удовлетворяющие условию (1), образуют однородный идеал (кольца К[х0, .... хп\. Если многочлен f(x0, ..., хп) обращается в нуль на Vd, то /(Со, ..., Сч) = 0 и поэтому /(х0, ..., хп) принадлежит i. Следовательно, i является делителем простого идеала, определяющего многообразие Vd. Кроме того, если f(x0, . . ., хп) и g(x0, . . ., хп) — однородные многочлены степеней т и г, не принадлежащие t, то

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370


Математика