Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Ходж В. Методы алгебраической геометрии Т.3
 
djvu / html
 

220 ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЯ
кольцо рассматриваемого нормирования через SR, идеал нормирования — через р. Поле вычетов нормирования 33 изоморфно фактор-кольцу Ct/p и содержит подполе, изоморфное К (§ 3). Это подполе мы отождествим с К, так что поле вычетов нормирования 23 будет расширением поля К. Размерностью нормирования 23 мы назовем степень трансцендентности его поля вычетов над полем К.
Теорема I. Размерность любого нетривиального нормирования поля S, имеющего конечную степень трансцендентности а над /С, меньше а.
Так как любые fif-j-1 элементов из Ct алгебраически зависимы над К, то они, очевидно, являются и алгебраически зависимыми по модулю р. Следовательно, размерность рассматриваемого нормирования не может превышать d. Предположим, что она в точности равна а. Тогда в кольце SR существует система $t, . . . , ?d из d элементов, алгебраически независимая по модулю р. Пусть т\ — любой отличный от нуля элемент из р. Элементы ^, . . ., ?й, vj алгебраически зависимы над полем К, а значит, удовлетворяют некоторому неприводимому уравнению
где элемент ar(tlt ..., ?d) отличен от нуля. Так как принадлежит р, то мы имеем
Но это соотношение противоречит нашему предположению, что элементы 5j, ..., Sd алгебраически независимы по модулю р. Следовательно, поле 91/р имеет размерность над полем К, меньшую d, т. е. размерность поля вычетов рассматриваемого нормирования меньше d.
Из доказанного непосредственно вытекает такое
Следствие. Если S имеет степень трансцендентности нуль, то каждое нормирование этого поля тривиально.
Теорема II. Пусть ? — расширение поля К, имеющее степень трансцендентности d. Тогда ранг любого нормирования поля S не превосходит d. Более того, сумма ранга и размерности нормирования не может превосходить d.
Пусть ранг нормирования 23 поля ? равен k, и пусть группа значений Г этого нормирования имеет изолированные подгруппы \\, Г2 ..... 1\. где
В силу теорем I и II § 3, можно расщепить нормирование 23 на нормирование 23' поля S с группой значений Г/1\ и нормирование 2\ поля вычетов ?0 нормирования 23 > имеющее группу значений Гг Таким же образом нормирование 23± может быть расщеплено на нормирование 23i с группой значений 1\/Га и нормирование 233 поля вычетов S; нормирования 23j, имеющее группу значений Г3. Поступая

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370


Математика