Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Ходж В. Методы алгебраической геометрии Т.3
 
djvu / html
 

210 гл. xvn. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
значений продолжения 23* нормирования 23 на поле S*. Если о — любой отличный от нуля элемент S* и если он является корнем алгебраического уравнения
с коэффициентами из ? (1<^и^г), то в левой части написанного равенства хотя бы два члена должны иметь одну и ту же норму. Действительно, если бы все отличные от нуля члены имели различные нормы, то ив результата (3) начала этого параграфа следовало бы, что
v* (а0ои + . . . + ап) = min [»' (а0аи) ..... v* (а„)]
и поэтому конечно, в то время как v* (0) = оо. Таким образом, должны существовать хотя бы два члена а4аи~* и a^n~i, имеющие одну и ту же (конечную) норму в нормировании 23*. Если j > i, то мы получаем (J — г) г>*(а) = v*(&>~t') = v*(aj/at) = v(Oi/at). Так как 0<[*<7О, то для любого элемента о из поля ?* число (J — I) является делителем г\. Следовательно, значение
г!^ (о) = ^([вуа/!Л'-'))
равно норме некоторого элемента поля S в нормировании 33.
Таким образом, группа Г является подгруппой группы Г*, обладающей следующим свойством: умножение любого элемента из Г* на г\ есть элемент Г.
Пусть группа Г* имеет ранг k и
— совокупность ее изолированных подгрупп. Тогда Г< П I1 2 Г»+1 П Г, причем из определения изолированной подгруппы непосредственно следует, что пересечение Г* П Г является изолированной подгруппой группы Г. Далее, непосредственно проверяется, что фактор-группы ]ЛПГ/Г{+1ПГ изоморфны подгруппам аддитивной группы действительных чисел, а значит, архимедовски упорядочены. Отсюда вытекает, что все изолированные подгруппы группы Г содержатся в последовательности
Мы докажем, что группа Г имеет ранг k, если установить включение
Пусть а — любой положительный элемент из Г<, не принадлежащий Г<+1. Тогда элемент г!а содержится в Ti и в Г, т. е. г!я^1\ПГ-Если бы было rla^rt+inr, то было бы и г!а^Г*+1. Но так как г la > a > 0, то из определения изолированной подгруппы вытекало бы,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370


Математика