Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Ходж В. Методы алгебраической геометрии Т.3
 
djvu / html
 

200 ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
принадлежит 9?. Но так как единица также принадлежит 9t, то и сумма 1 -j- S/TI будет элементом 9?. Поэтому
а значит,
v(l + ii)>v(fi) = mlulv(Z), «(4)1-
Таким образом, отображение %—>v(fy отличных от нуля элементов поля ? в группу Г является нормированием, а кольцо 9J — кольцом этого нормирования.
Если поле частных S кольца 9i является полем функций некоторого алгебраического многообразия над полем К, то мы должны иметь /С? S)i. В этом случае для любого отличного от нуля элемента а из К элемент а~1 также принадлежит К, а значит, элементы а и а~1 содержатся в Gv Поэтому v (а) = 0, и условие (III) выполнено.
Перед рассмотрением другой характеристики колец нормирований удобно доказать следующую лемму:
Лемма. Если область целостности JR обладает тем свойством, что любое ее собственное расширение, содержащееся в поле частных S для 31, содержит обратный элемент хотя бы для одного элемента 9t, не являющегося в 9? делителем единицы, то кольцо 9t целозамкнуто s S.
Пусть 9Г — целое замыкание кольца 91 в S. Если бы 91 не было целозамкнутым, то было бы 9?* :э 9?, а значит, в кольце 91 существовал бы элемент ?, не являющийся в 91 делителем единицы и такой, что ?-1?91*. Так как $~1^9i*, то этот элемент — целый относительно 91, и поэтому должно иметь место некоторое соотношение
s-» + aif-«+i+...4-an = 0 (a, ?01).
Следовательно,
1+а^+...+а^=-.0.
Если теперь положить
то мы усматриваем, что элемент -q принадлежит 91 и является обратным для элемента \. Это противоречит тому, что Е не является делителем единицы кольца 9?, а значит, наше предположение, что 91 не целозамкнуто, неверно.
Из доказанной леммы следует
Теорема IV. Кольцо ЭТ нормирования 23 поля ? является целозамкнутым в 2.
Так как кольцо 9t состоит из всех элементов поля I, нормы которых (при рассматриваемом нормировании) неотрицательны, то любое расширение кольца 9? в поле S будет содержать элемент С, для которого v (С) < 0. Но тогда v(^~l) > 0, т. е. элемент С"1 не является делителем единицы кольца 9^. Следовательно, кольцо Ц имеет то

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370


Математика