Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Ходж В. Методы алгебраической геометрии Т.3
 
djvu / html
 

110 гл. xvi. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ _ _
кратен St. Если R — любой идеал в 9t, определяющий некоторое многообразие U в пространстве Ап, то идеал (Ж, ф) определяет многообразие L/flV'. Многообразие Uf\ V пусто тогда и только тогда, когда (R, ф) является единичным идеалом, т. е. когда идеал f из 3. соответствующий К, есть единичный идеал. Таким образом, любой идеал i кольца 3 определяет некоторое многообразие, содержащееся в V. Именно: если ft(xlt . . ., *„) (t=\ ..... г) — базис идеала ф, a gi($i ..... ?,») (' — 1> •••> s) — базис для г, то многочлены /«C*i ..... *„)(/=! ..... г) я gi(x1, . . ., хп) (i — 1, . . ., s) составляют базис соответствующего идеала кольца SR, являющегося делителем ф. Определяемое идеалом i многообразие имеет уравнения
Обратно, если U — любое многообразие, лежащее на V, и gt (xt, .... х„) (i = 1 ,...,. s) — базис идеала, состоящего из всех многочленов, обращающихся в нуль на U, то элементы ftfo, ..., Еп) (/= 1 ..... 5) составляют базис наибольшего идеала кольца 3. определяющего многообразие U.
Результаты, доказанные в начале этого . параграфа относительно соотношений между идеалами кольца 9t и многообразиями в пространстве Ап, можно переформулировать теперь в результаты, связывающие идеалы кольца 3 и многообразия, лежащие на V. Действительно, наши более ранние результаты соответствуют частному случаю, в котором идеал $р является нулевым. Здесь нет необходимости останавливаться на деталях этой переформулировки, которая непосредственно получается из доказанного в § 3 гл. XV. Наиболее важный результат состоит в том, что если U есть некоторое .многообразие, лежащее на многообразии V, то U будет неприводимым в том и только в том случае, когда наибольший идеал кольца 3> определяющий U, прост. Отметим, что если f — любой идеал кольца 3, а и — идеал из 9t, соответствующий идеалу f и содержащий в себе идеал ф, то размерность над полем К идеала f, рассматриваемого как идеал в 3. равна максимальному числу элементов из 3> алгебраически независимых по модулю f, и поэтому равна максимальному числу элементов из и, алгебраически независимых по модулю Ж. Другими словами, размерность идеала f равна размерности 5?. Следовательно, размерность идеала f над полем К равна размерности многообразия, определяемого этим идеалом.
Ввиду того, что 3 является областью целостности, ее максимальные идеалы, все просты (гл. XV, § 3, теорема III). Пусть р — максимальный идеал в 3. a U — определяемое им неприводимое многообразие. Если бы многообразие U имело размерность, ббльшую нуля, то существовало бы неприводимое многообразие U', являющееся собственным подмногообразием U. Если р' — наибольший идеал, опре-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370


Математика