Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Ходж В. Методы алгебраической геометрии Т.3
 
djvu / html
 

10_______ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ_________
§ 1. Идеалы в коммутативных кольцах
Пусть 91— произвольное коммутативное кольцо. Непустое множество i, состоящее из элементов 91, образует идеал кольца 91, если оно обладает двумя следующими свойствами:
(I) если аир — любые элементы из t, то элемент а — [3 также принадлежит t;
(II) если а принадлежит t и р — любой элемент из 91, то произведение ря принадлежит t.
Кольцо 91 содержит нулевой элемент. Если в свойстве (II) взять этот элемент в качестве р, то из (II) будет следовать, что элемент
0 • а = 0 принадлежит {. Таким образом, каждый идеал кольца 91 содержит нуль этого кольца. Далее, если множество t состоит только из нуля кольца 91, то оно удовлетворяет условиям (I) и (II) и будет поэтому идеалом. Такой идеал будет называться нулевым идеалом кольца 9t. Если множество {' содержит все элементы кольца 01, то оно также удовлетворяет условиям (I) и (II) и, значит, также будет идеалом. Этот идеал называется единичным идеалом кольца 91. Следовательно, любое коммутативное кольцо содержит по крайней мере два идеала — нулевой и единичный. Иногда эти идеалы называются несобственными. Идеалы, отличные от обоих упомянутых, называются собственными.
Если кольцо 9t содержит единичный элемент е, причем е содержится также в г, то множество t содержит произведение ре = р при любом р из 91. Таким образом, идеал t является единичным в том и только в том случае, если он содержит е.
Полезно с самого начала установить, какие коммутативные кольца обладают только двумя несобственными идеалами. Рассмотрим отдельно два случая.
Случай I. Пусть в 91 имеются два элемента р и о, для которых (это заведомо верно, если кольцо 91 обладает единицей). Рассмотрим множество t элементов вида о<в, где о — любой элемент из 91. Ясно, что в таком случае множество t удовлетворяет условиям (I) и (II), так что t — идеал. Ввиду того, что t содержит элемент ро>=^0, i не может быть нулевым идеалом. Если кольцо 9? обла-Дает только несобственными идеалами, то из сказанного следует, что
1 = 91. Таким образом, для любого элемента v из 9t в кольце 91 найдется элемент х, удовлетворяющий условию
ДГО) = V.
Пусть е — решение этого уравнения в случае, когда v = о>, их — решение при произвольном v из 91. Тогда
е\ = ехч> = х (еа>) = хо> = v.
Отсюда следует, что е является единицей кольца 31. Пусть теперь N — любой элемент из 91, отличный от нуля. Тогда совокупность эле-

 

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370


Математика