Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хаусдорф Ф.N. Теория множеств
 
djvu / html
 

90 СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
среди множеств А* и А*"1"1 находятся как пересечение, так и сумма множеств нашей последовательности. Отсюда сразу видно, что нет смысла продолжить наше определение на числа ?>?? (так как мы бы получили
Системы 01* возрастают вместе с индексом, т. е. при | < г\ Qif Q OF, ибо, так как М = М+ М+ . . . = ММ . . . , каждое А* есть Af+1, Af~^2, . . . Отсюда следует, что множества А*"1"1 представимы как суммы или пересечения последовательностей множеств А* (смотря по тому, четно или нет |); в случае если ц есть предельное число, А1? суть пересечения последовательностей множеств А* (|< щ). Следовательно, множества (3) образуют начало нашей конструкции, т. е.
А», А1, А2, ...
тождественны с М, Мд, Мав, . . . ; далее идут А16 — пересечения последовательностей ранее построенных множеств, Аш+1 — суммы последовательностей множеств А" н т. д. Системы множеств Qif мы будем называть борелевскими классами и скажем, что данное множество принадлежит в точности к классу ОТ, если оно принадлежит к этому, но не принадлежит ни к какому предшествующему классу, т. е. если оно есть А4, но не есть А5 (при | < rj). (Часто, хотя это и неудобно, считают классы
непересекающимися, т. е. называют классом систему 'Л4 — 601 f.)
«п
Видоизмененное построение 93 получается, если поменять ролями операции пересечения и суммирования, т. е. определить системы 93* множеств В следующим образом:
множества В° суть множества М (93° = I3J?), \
при нечетном г\ множества В1» суть пересечения, при \ (/?)
четном rj >Q — суммы последовательностей множеств Bf(|< ?j) J
Множества В* снова образуют минимальную'борелевскую систему 93, объемлющую (ЗУ1. В*"1"1 суть пересечения последовательностей множеств Bf при | четном и суммы при | нечетном. Начало составляют множества (4), т. е.
В», В1, В2, В3,...
тождественны с М, Мв, М&,, Мвад, . . .
Эти системы множеств также называются борелевскими классами. Нетрудно видеть, что каждое Af есть В*"1"1 и каждое В* есть Ai+1 ; например А1 = Ма_ входят в систему В2 = MSa и В1 — Мв — в систему А2 = М,».
Конечно, может случиться, что в действительности нет необходимости употребить все А или В , чтобы завершить построение системы ОЗ, т. е. может случиться, что некоторый класс Qi совпадает со всей системой ОЗ. Это зависит от исходной системы SSJ?; если, скажем, она сама есть борелевская система, то <23° = 03 и дальнейшее расширение

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика