Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хаусдорф Ф.N. Теория множеств
 
djvu / html
 

80 ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
настоящего произведения множеств. В этом нам снова поможет теория вполне упорядоченных множеств.
Мы назовем два комплекса, заимствуя название из теории чисел, конгруэнтными: - •
а^Ь или и = а,
если множество мест отличия а от b, M (а, Ь) вполне упорядочено. В •случае М (а, Ь) = 0 (откуда следует а = Ь) мы также будем считать, что а = &.
В силу (1) имеет место транзитивный закон: если а = Ь, Ь = с, то л = с. Поэтому возможно разделить А на классы так, чтобы конгруэнтные комплексы принадлежали одному классу, неконгруэнтные — различным; а именно, класс Л (а), состоящий из комплексов, конгруэнтных а, & потому конгруэнтных между собой, или совпадает с классом А(Ь) (если а^й) или не имеет общих с ним комплексов.
Комплексы, принадлежащие одному классу, словарно сравнимы между •собой, и поэтому А (а) — упорядоченное множество. Мы не будем останавливаться на тех свойствах (например на ассоциативном законе), которые придают ему характер произведения, и установим только, что А (а) •есть максимальное, т. е. не поддающееся расширению упорядоченное подмножество А (конечно, только в отношении словарного упорядочения). В самом деле, если с Ф а, разобьем не вполне упорядоченное множество М(а, с) на два дополнительных множества Р, Q так, чтобы Р •было вполне упорядочено, a Qr>0 не имело первого элемента (например пусть Q есть сумма всех подмножеств М (а, с), не имеющих первого элемента; тогда и Q не имеет первого элемента, а Р не может иметь никакого непустого подмножества без первого элемента, следовательно, вполне упорядочено). .Если мы определим комплекс Ь, полагая]
Ьт = ст при т ? Р, Ът — ат при т ? М — Р,|
то М(а, b) = P, M(b,c) = Q; следовательно, b = a, b \\ с, а поэтому, «ели с Ф а, то с несравнимо хотя бы с одним комплексом & класса А (а)', следовательно, А (а) не может быть расширено.
Важный пример представляет тот случай, когда экспонент N = М* вполне упорядочен (в отличие от уже рассмотренного случая, когда, наоборот, вполне упорядочен аргумент М). Тут каждое множество М (а, Ь) есть обращение вполне упорядоченного множества; следовательно, если •само оно вполне упорядочено, то оно конечно, т. е. а==Ь обозначает, что комплексы а ч b имеют только конечное число мест отличия.
Пусть например:
N={0,1,2, ...}, М = { ...,2, 1,0}, так что N имеет тип со; наши комплексы суть
а = (...,ча2, аъ а0) ~ (ат ?'Ат).
Чтобы исследовать А (а) и его тип, рассмотрим? разбиение множеств Ат, производимое элементами ат, и их типы:
Am = Вт + {ат } + Ст, ат — /9т + 1 + Ут]

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика