Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хаусдорф Ф.N. Теория множеств
 
djvu / html
 

60 ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
После этих предварительных замечаний докажем теорему Е. Zermelo (Wohlordnungssatz): Каждое множество может быть вполне упорядочено.
Если мы пожелаем сделать наше множество вполне упорядоченным по способу (1), мы, в частности, должны будем для каждого множества Рп = [а0, «!,•••, «n-i} указать непосредственно следующий элемент ап или, что то же, из множества еще не упорядоченных элементов Qn = A— р„ выбрать один вполне определенный элемент ап. Если поступать таким образом, то отдельные акты выбора сами совершаются в определенном порядке: ап может и должно быть выбрано только после того, как выбраны предшествующие ему элементы а0, • • • , «п—ь Доказательство теоремы Zermelo может быть проведено и при помощи этих последовательных зависимых выборов, но только позже, после более подробного исследования порядковых чисел. Чтобы получить доказательство уже сейчас, мы прибегнем к совокупности одновременных независимых один от другого выборов: мы ставим в соответствие каждому подмножеству Р множества А, отличному от А, некоторый элемент а, не принадлежащий Р, а = f (Р) ? А — Р, или, иначе говоря, выбираем из каждого непустого подмножества Q множества А по одному принадлежащему ему элементу a = Тот способ, которым, исходя из указанного соответствия а = / (Р), можно автоматически вполне упорядочить Л, по существу очень прост, но требует от читателя некоторой привычки к абстрактному мышлению. Рассмотрим такую совокупность множеств ^ А, что:
(а) она содержит пустое множество,
(/?) содержит сумму множеств, если содержит каждое слагаемое множество,
(у) если содержит Р, то содержит и его „преемник" Р+.
Назовем такую совокупность множеств цепью. Такие цепи заведомо существуют; в качестве примера можно указать максимальную цепь, состоящую из всех множеств g А. Пересечение любого множества цепей есть также цепь; поэтому существует минимальная цепь ^, а именно пересечение всех цепей. Ее-то мы и рассмотрим, и все множества, о которых будет итти речь в ходе доказательства, как-то: Р, X и т. д., будут принадлежать ff.
Самое главное, — это доказать сравнимость всех множеств цепи ^ (в смысле стр. 11), т. е. доказать, что между двумя множествами Р, X
существует одно из трех отношений Х = Р. Если мы условимся назы-

 

1 10 20 30 40 50 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика