Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хаусдорф Ф.N. Теория множеств
 
djvu / html
 

40 КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
(но 1м» = 1). Отсюда, далее, следует, что
.(2»о)»о
т. е. что К принадлежит к типу кардинальных чисел (см. стр. 36), которые равны своей К„-й степени, и поэтому не может быть разложен к сумму возрастающих кардинальных чисел. По теореме эквивалентности мы, следовательно, имеем:
К = М1-»М*=...
(то же получается непосредственно:
а также:
И в этих формулах содержится много неожиданного: S$a = SS$ есть мощность множества пар действительных чисел (х, у) или, что то же, мощность множества всех точек плоскости, &$3 есть мощность всех троек (х, у, Z), т. е. мощность трехмерного пространства, и т. д., вплоть до N\ т. е. до мощности ^„'-мерного пространства или же множества всех последовательностей действительных чисел (xlf ха, Х3,- . . )• Таким образом все конечно- или счетно-мерные пространства имеют одинаковую мощность К. Это также кажется достаточно парадоксальным и, как будто бы, колеблет представление о размерности (числе измерений), которое, однако, вновь оправдывается совсем другими рассуждениями (при рассмотрении не просто взаимно однозначных, но еще и взаимно непрерывных отображений); то обстоятельство, что прямая и плоскость имеют, так сказать, „одинаковое число" точек, не более загадочно, чем то, что натуральные числа можц'ч.разбить на четные и нечётные, т. е. КЙ = N в существе дела не /йет ничего принципиально нового по сравнению с S0 + S0 = S$0. Действительно, из десятичной дроби можно сделать две дроби: состоящую из тех цифр, которые стояли на четных местах, и состоящую из тех цифр, которые стояли на нечетных местах; обратно, две дроби можно объединить в одну, имеющую на четных местах цифры одной, а на нечетных — другой; в этом весь секрет.
Остановимся на этом несколько подробнее. Чтобы установить непосредственно эквивалентность отрезка и квадрата, представим каждое число полусегмента (О, 1] в виде двоичной дроби с бесконечным множеством единиц, т. е. в виде
/1V4. , /1\*Н-«» . / 1 ycH-*s+*s Ы +Ы +Ы +
где xlt X2,----натуральные числа. Такое представление возможно единственным образом, и, следовательно, этим устранена двузначность, вовмож-ная при представлении числа двоичной дробью; заметим мимоходом, что это представление иллюстрирует непосредственно равенство N = ^о*** Сокращенно это представление будем записывать так:
х = [XL ха, #8,...].

 

1 10 20 30 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика