Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хаусдорф Ф.N. Теория множеств
 
djvu / html
 

290 ДОБАВЛЕНИЕ
следовательно, и есть принадлежащий Lu предел последовательности ц$. Теперь из VIIIj следует, что Fu Q Lu или Еи — Lu Q Lu — Fu, ибо если U0?EU—Lu, то в Ех существует такая точка Х0, что цх0 = 0 при и ? LU и U0*o ф 0; а это значит, что USXQ == 0 для любого v или, иначе, что sx0=0, а потому «„??„— Fu.
Придерживаясь предположений, обычно употребляющихся в литературе о линейных пространствах, можем утверждать: если Ех* и Еу полны, то для каждого из отображений у = sx, и = vs непрерывная обратимость равносильна нормальной разрешимости, согласно же XI все четыре свойства равносильны одно другому.
Линейное отображение у = tX пространства Ех в Еу называется вполне непрерывным1), если каждое ограниченное множество оно переводит во вполне ограниченное (см. стр. 142) или, что то же, если каждая ограниченная последовательность Хп переходит в такую последовательность уп = tXn, которая содержит фундаментальную подпоследовательность. Такое отображение ео ipso непрерывно. Покажем, что в случае Ех = Еу:
XIII. Отображение у = sx = X — tx полного пространства Ех самого в себя непрерывно обратимо, если tx вполне непрерывно.
Пусть у = <т? есть взаимно однозначное отображение дополнитель-??
ного пространства Ef = ~* на Lv\ надо показать, что обратное ему
~ * отображение | = ау непрерывно в точке у = 0. В противном случае
существовала бы последовательность уп->0, для которой \ gn >g>0, откуда, деля ?п и уп на \ ?n \, выводим существование последовательности у„-*•(), для которой |?п| = 1- Если мы выберем в каждом классе |„ по представителю хп, для которого |Хп|^2, то получим ограниченную последовательность хп; причем yn = sxn = xn—Ьс„-»0. Но tXn содержит фундаментальную подпоследовательность tXp; последовательность Хр = ур + tXp также фундаментальная и, следовательно, сходится в пространстве ЕХ'.ХР-^-ХО, откуда yp = sxp-*sx0> а вначит, SXQ —О, X0?FX. Но тогда |?р|<;|Хр — XoJ-^-О, что противоречит тому, что |?р| = 1.
В предположениях теоремы XIII не только оба отображения у = sx, и = vs нормально разрешимы, но еще, следуя F. Riesz'y [10], можно показать, ч го оба множества Fx, Fv имеют одну и ту же конечную размерность >0, т. е. однородные уравнения sx0 = 0, v0S = Q имеют одинаковое число линейно независимых решений. В самом деле, Ех есть прямое произведение2) (?', Е") двух линейных пространств, из которых Е' конечно-мерно и отображается при у = sx само в себя, а Е" взаимно однозначно и непрерывно обратимо отображается на.себя.
г) Несколько видоизмененное определение F. Riesz'a [10], стр. 74.
2) То есть ?', Е" суть замкнутые линейные подпространства Ех, имеющие только одну общую точку О, н каждая точка Ех представите (единственным образом) в виде х =х'-)-х", x'efi', x"?E", причем х' и х" суть непрерыввые линейные функции от х.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300


Математика