Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хаусдорф Ф.N. Теория множеств
 
djvu / html
 

280 ДОБАВЛЕНИЕ /
может быть сделано сколько угодно большим. Так как Ех полно, то Lu — первой категории в себе самом, что на этот раз устанавливается без труда и непосредственно, ибо Lu есть сумма замкнутых, нигде не плотных множеств Fn, являющихся образами сфер | х | < я
(п = 1,2,...)-
По теореме VI непрерывный линейный образ полного пространства или есть полное множество, или множество первой категории в себе самом. Присоединим к этому еще несколько замечаний о категории линейных пространств.
Правильная линейная часть L линейного пространства Е имеет до-
полнение, плотное в Е. Ибо если x?L, b?E — L, то точки х-\ -- Ь,
принадлежащие Е — L, стремятся при п -» оо к точке х; следовательно,
Е — L 2 L, E — L = E.
Линейное пространство, имеющее конечный базис, полно (ибо оно линейно гомеоморфно эвклидовскому пространству).
Существуют линейные пространства неполные, но второй категории в себе самих.
В самом деле, рассмотрим какое-нибудь бесконечно мерное пространство Е второй категории в себе самом, например одно из Нр. Оно имеет несчетный базис, который мы можем записать, выделяя в нем счетное подмножество, в виде A = A0+{alf a2, ...'}. Обозначим через Еп (п = 1, 2, . . . ) линейную оболочку Ап = А0 + {al5 a2) . • . , а„}. Мы имеем EjCzEjCZ . . . , Е = @ЕП. Хотя бы одно из Еп (и, следовательно, все следующие за ним) — второй категории в Е, а значит, и в себе самом; Еп не полно, так как в противном случае оно было бы замкнуто в Е, а тогда, в силу того, что Е — Еп плотно в Е, оно было бы нигде не плотни в Е.
Всякое линейное пространство бесконечной размеренности может быть рассматриваемо как взаимно однозначный непрерывный линейный образ линейного пространства первой категории.
Положим, что рассматриваемое нами пространство Еу имеет базис, состоящий из точек bt (индекс t пробегает бесконечное множество Т), относительно которых мы можем принять, что |ftt| = 1; каждая точка у может быть единственным образом представлена в виде
причем только конечное число It ф 0 и f t суть линейные (вообще говоря, не непрерывные) функции у; мы имеем | у | .< 2 I ?t&t | = 2 I& !• Будем рассматривать 2 |?t I как новую норму или, иначе говоря, поставим в соответствие точке у точку
х = 2 ?А,
принадлежащую новому пространству Ех и имеющую норму |x( = 2lf«| (в частности, точкам bt соответствуют точки at, образующие базис про-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 300


Математика