Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хаусдорф Ф.N. Теория множеств
 
djvu / html
 

260 ДЕЙСТВИТеЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
чтобы для каждого а > 0 существовал член последовательности fm (х), который отличается от всех следующих не более чем иа а, т. е.
l/n(x) — /m(x)lт; (1)
отсюда следует: пусть (как на стр. 24 1 ) Fm (а) есть множество тех точек х, в которых имеет место (1) при фиксированных а, т, а
C(cr) = Fx (or) + F2(cr) + /%(*) + ...
множество тех х, для которых (1) имеет место для одного хотя бы значения т', тогда С есть пересечение всех С (а), или, так как множества Fm(a) и С (а) убывают вместе с а,
Fm (а) замкнуто, С (<т) есть Fa, множество сходимости С есть FaS. Это же можно обнаружить так. Если предположить, что
7= llm /n, _/ == lim /„
существуют (т. е. конечны), то это суть функции второго класса и притом по § 37, (6) / есть Л1 класса (*,0Й), а / есть g1 класса (Рв, *). Их разность
«(0 = 7- А
которую называют колебанием последовательности /п, есть функция второго класса 1), а потому принадлежит к классу (О*,, Faa)\ множество точек расходимости, где со (/) > 0, есть, следовательно, GA,, а множество точек сходимости, где со (/) = 0, есть Faa, Множество точек, где А < Ит /„ А] [/ уп = " • можно освободиться от допущения, что / , / конечны; мно-
1 "*" I 'п | —
жество точек, где /п сходится, совпадает с множеством тех точек, где — • 1 < limg:>n < + 1 (в то время как 9>п^»1 равносильно /п— > оо, а <рп — > — 1 равносильно /п — > — оо).
Множество [/ = oo] = [^ = ij=:[gp>i] есть G^, так же как и множество [/ = — оо] и, значит, такова же их сумма; иначе говоря, множество DCO тех точек, в которых /п неограничены в своей совокупности, есть GS. Если, например (как это делается в теории рядов Фурье), построить последовательность непрерывных функций действительного переменного, которая расходится в этом смысле (т. е. такую, что /п не ограничены в своей совокупности) во всех рациональных точках, то эта последовательность автоматически окажется ведущей себя так же еще и в К иррациональных точках, потому что Д» как плотное QS по § 28 имеет мощность континуума.
*) Она сама есть Л1 класса (G^, Ga), но отсюда следует ие больше, чем в тексте.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 280 290 300


Математика