Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хаусдорф Ф.N. Теория множеств
 
djvu / html
 

250 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
мощности, и не более чем X, так как непрерывная функция вполне определяется своими значениями иа счетном всюду плотном множестве точек). Существует также, как обнаруживает индукция, только К функций f для любого |, а потому К (не более чем fr^K ^ КК = К) бэровских функций. Таким образом, если пространство имеет мощность К (например полно и с плотным в себе ядром :э 0), бэровские функции составляют исчез'ающе малую часть системы всех функций (в числе К"= 2").
Что бэровские функции, отвлекаясь от вопроса о мощности, близко подходят к непрерывным функциям, а именно непрерывны, если-, „пренебречь" множеством первой категории, показывает следующая теорема:
VI. Если пространство А есть множество Gn, wo для каждой бэровской функции / существует такое плотное в А множество С = = GS, что функция j (х { С) непрерывна.
Теорема верна для непрерывных функций (С = А) и будет индуктивно доказана для всех бэровских функций, если из справедливости ее для функций сходящейся последовательности /п вывести ее применимость к их пределу /. Пусть fn (х I Сп) непрерывна и Сп — множество Gs, плотное в А; тогда ?)„ — А — Сп есть Fa первой категории в А; но тогда
и D0 = DI + L>2 -f ... есть Fa и AI, а С0 = А — D0 = СгС2... есть О» плотное в А и опять-таки множество Оц (стр. 164); но функции fn(x\C0) непрерывны, а их предел по § 38, V не более чем точечно-разрывен, т. е. множество С точек непрерывности /(х|С0) плотно в С0 и есть Оа в С0, следовательно, плотно и есть Gs в А, а потому / (х \ С) непрерывна.
Например функция / Дирихле (стр. 242) на множестве иррациональных чисел есть постоянное, равное нулю, т. е. иррациональные числа суть точки непрерывности функции / (х \ С), но, конечно, не самой функции Дирихле.
Коротко мы выразим теорему VI так: каждая бэровская функция непрерывна с точностью до множества первой категории: под этим подразумевается, что пространство допускает разложение А = С + D, в котором D есть Аг и f(x\C) непрерывна. Мы можем, сверх того, предположить, что С есть Q8, a D есть Fa, ибо нигде не плотные множества, суммой которых является ?), мы можем заменить их замыканиями.
Теорема VI имеет некоторое сходство с теоремдй § 38, V о функциях первого класса и позволяет также высказать предложение, аналогичное § 38, VI:
Если пространство А есть множество Рц, a f — бэровская функция, то, каково бы ни было замкнутое (в А) множество F z> О, функция f(x\F) непрерывна с точностью до множества первой категории.
То-есть существует разложение F — С + D, в котором D есть FI и / (х | С) непрерывна. Это следует из того, что F опять-таки есть множество FU, следовательно (стр. 165), множество Оц, и f(x\F) есть бэровская функция пространства F.
По аналогии с теоремой § 38, VII естественно было бы ожидать, что хотя бы в пространствах со счетной базой непрерывности с точностью до множества первой категории также достаточно для того, чтобы

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 270 280 290 300


Математика