Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хаусдорф Ф.N. Теория множеств
 
djvu / html
 

240 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Действительно, определение непрерывности может быть сформулировано так: / (х) непрерывна в точке а тогда и только тогда, когда для любого о > 0 существует некоторая окрестность U (а), для всех точек х, у которой имеем:
I / (*)- / (У) К о.
Фиксируем а и обозначим С (а) множество точек а, которые имеют такую окрестность U (а); каждая точка b ? U(a) имеет такую же окрестность U (Ь) с U (а), следовательно, U (a) Q С(а\ т. е. С (а) — открытое множество. Но тогда С есть пересечение всех С (а), о > 0 или еще
c-c«)c(f)c(.f)...
•а значит, С есть Gs (W. H. Young).
Крайние случаи представляют функции (всюду) непрерывные (С = Л, D = 0) и всюду разрывные (С = О, D — Л); примером всюду разрывшей функции может служить хотя бы так называемая функция Дирихле, т. е. функция действительного переменного X, равная единице при рациональном X и равная нулю при иррациональном X. Ближе всего к непрерывным функциям подходят те функции, для которых С плотно в Л; их называют, следуя H. Hankel'io точечно-разрывными (или лучше: не •более чем точечно-разрывными, так как согласно этому определению к ним принадлежат и непрерывные функции). По стр. 166, D как Fe, имеющее всюду плотное дополнение, есть множество первой категории в Л (т. е. Л/); и если само пространство есть множество второй категории в себе (т. е. Ац\ т. е., например, метрически абсолютное Gs, то С есть АЦ. При этом D также может быть плотным в Л, но они имеют различную категорию и не могут обменяться ролями. Так, например, если Л есть множество действительных чисел, то С может быть множеством иррациональных чисел, & D — множеством рациональных чисел (если D— = {Гц fz- ••} и S Сп — сходящийся ряд положительных чисел), то
= s сп
есть монотонная функция требуемого вида, так как в точке гп она претерпевает скачок на с„, а для а > 0 существует такое N, что
со
2 сп < а> и такая окрестность иррациональной точки х, U (х), которая
N
не содержит ни одной из точек rlt . . . , г^ и в которой поэтому
оо
| / (х) — / (у) | < 2 ^ < о\ наоборот, множество рациональных чисел не
N
может быть множеством точек непрерывности ни одной функции от х.
Пусть, далее, /„ -* / есть всюду сходящаяся (в Л) последовательность функций; спросим себя, при каких обстоятельствах из непрерывности /п следует непрерывность /. Мы скажем, что последовательность сходится равномерно в точке а, если, каково бы ни было <т>0, существуют •натуральное число т и окрестность U (а) такие, что
0)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 260 270 280 290 300


Математика