Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хаусдорф Ф.N. Теория множеств
 
djvu / html
 

230 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
В самом деле, лемма (В), в которой теперь/7 есть функция /, показывает, что каждое Ма есть М. Но тогда Р, Q тождественны с М, N и оставшаяся часть утверждения следует из VII.
Теорома VIII есть вместе с тем обращение теоремы III.
Условия полноты имеет место согласно IV и для /*, следовательно:
IX. Функции классов (М*, N*) совпадают с /*.
Постараемся установить обращение (частичное) того обстоятельства, что каждое g принадлежит к классу (Р, *). Из определения следует, что для каждого g существует / <^ g, так называемая миноранта /. Наоборот, имеем:
X. Функция класса (Р,*), имеющая миноранту \, есть функция g. Пусть у принадлежит классу (Р,*) и пусть <р>{ или, если 1—/
снова обозначить через /,

0.

0. Положим 8 > О и построим для /7= 1, 2, ... согласно лемме (D) функцию gn, равную единице на множестве [q> > пд], которое есть Р = Ма, и равную нулю — вне его. Всюду сходящийся ряд
g = &(gi + gt+ "О,
у которого в каждой точке х почти все члены равны нулю, как предел возрастающих g есть также функция g. Если в какой-нибудь точке
(П — 1)д <<р<пд, то в ней
gi= •••=gn-i= I, gn=gn+i= ••• = 0, g = (n— 1)д
и, следовательно, всюду
0«Р~ g Итак, у можно равномерно аппроксимировать функциями g, а потому она сама есть g.
XI. Каждая функция класса (Р,*) есть предел возрастающей после-довательности функций v класса (Р, Q).
Это утверждение содержится для случая ограниченной функции в X. В случае если Ф неограниченна и класса (Р,*), сделаем снова ограничивающее преобразование (7); <р класса (Р,*) и ограничена (— 1 < <р < 1), следовательно, класса g; <р = lim /„, причем /х< /а <1» так как /„ можно заменить на max [/ft, —1]. Но чтобы вернуться к Ф, нужно иметь вместо /„ такие функции, которые не достигают ограничивающего их -снизу числа — 1.
1 , . 1 , 1 , .
Vn = -у /п + -|- /n+1 + -g- /n+2 + ' ' '
как сумма равномерно сходящегося ряда функций / есть функция v (даже k). Очевидно, что /„ <; vn /п знак равенства может иметь место, только если /„ = /n+J = =, fn+z = ... ( следовательно, когда vn — <Р > — 1; если же имеет место

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 250 260 270 280 290 300


Математика