Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хаусдорф Ф.N. Теория множеств
 
djvu / html
 

210 ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
левские и суслинские множества пространства X. Прообразы множеств F((Y), 0*(У) суть множества F*(X),GS(X).
Это следует просто из того, что прообразы сумм и пересечений суть суммы и пересечения прообразов. Если, например, уже доказано, что при !<»/ каждое Fe(Y) имеет прообразом F*( При попытках сделать заключение о природе множества Y, исходя из природы множества X, непрерывным образом которого является У, мы получили до сих пор только один результат: непрерывный образ компактного (бикомпактного) множества К есть также компактное (бикомпактное) множество. С первого взгляда кажется безнадежным получить какие бы то ни было дальнейшие результаты, так как уже метрически абсолютно замкнутое множество F может иметь своим непрерывным образом, произвольное множество (конечно, не превосходящее F по мощности). Однако, если мы будем рассматривать множества в полных пространствах со счетной базой, мы можем получить более точный, в некотором смысле, результат: непрерывный образ суслинского множества есть суслинское множество, непрерывный взаимно однозначный образ борелевского множества есть борелевское множество. Борелевские и суслинские множества полного пространства суть, впрочем, таковые в любом заключающем их полном метрическом пространстве, следовательно, в этом смысле в теореме можно также говорить о метрически абсолютных борелевских и суслинских множествах со счетной базой.
Прежде чем перейти к уточнению и доказательству вышесказанного утверждения, сделаем несколько замечаний о произведении пространств и об операции проектирования (стр. 107). Произведение Z = (X, Y) двух метрических пространств, т. е. множество пар z = (X, у), где X ? X, у ? Y метризуется по формуле (1) п. 4, § 21.
Каждая пара z == (х, у) определяет свой первый элемент х = <р (z), проекцию z в пространство Х\ это — непрерывная и, более того, равномерно непрерывная функция. Образ А = Ф(С) некоторого подмножества С пространства Z есть проекция С в X. К подмножествам произведения, в частности, принадлежат произведения подмножеств С = (А, В), где А ^ X, В ? У; А и В могут, в частности, свестись к отдельным точкам, и, например, (А, у) есть (изометричное А) множество точек (х, у) с фиксированным у и х ? А. Произведение С = (А, В) дистрибутивно относительно сложения и пересечения; имеем:
и, само собой, аналогичные формулы в применении ко второму фактору. Если X, Y — полные пространства, то к Z полно, и обратно. Если А замкнуто в X, то (А, У) замкнуто в (X, У), и наоборот; переходя к дополнениям и применяя дистрибутивный закон, получаем, что: если А открыто в X или является борелевским множеством F(, Gf или суслинским мно-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика