Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хаусдорф Ф.N. Теория множеств
 
djvu / html
 

20 МНОЖЕСТВА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Для верхнего и нижнего пределов последовательности А = lim Д» и А = lim Лп получаем:
„], [Л]-Нт[Л„],
потому что lim [An] равен единице тогда и только тогда, когда [Л„] = 1 для бесчисленного множества значений п, т. е. в тех точках X, которые входят в бесконечное число Множеств Ап, а в этом случае X ? A. lim [Д„] = 1 тогда и только тогда, когда х ? Ап для почти всех п\ следовательно, х ? А. Для предела сходящейся последовательности [А] — lim [Ап].
§ 4. Произведение и степень
Нам остается определить произведение множеств. Построим из двух множеств А, В множество Р упорядоченных пар (§ 2) р = (а, Ъ), где а пробегает все элементы Дай — все элементы В, так что р ? Р равносильно а ? А, Ъ ? В.
Это множество Р назовем произведением А к В.
Если наши множества г) конечны: А состоит из т, а В .из п элементов, то Р состоит из /пп элементов, так что оно действительно имеет характер произведения. Заметим, что Р есть полное множество пар, состоящее из всех пар (а, Ь), для которых а ? Д Ъ ? Bt и содержит в качестве своих подмножеств все множества пар, получающиеся при различных функциональных отображениях А на В (§ 2); само Р дает „самое многозначное" отображение А на В, ибо каждый элемент а имеет своими образами все Ь, а каждый Ь — своими прообразами все а. Для обозначения произведения мы не можем принять символ АВ, который сам собой напрашивается, так как он уже введен для обозначения пересечения.
Произведение множеств Л и В мы будем обозначать:
[А, В].
Заметим, что [А, В] и [В, А] имеют, вообще говоря (в случае не, тождественных А и В), разный смысл.
Пример. Пусть А и В два множества действительных чисел. Будем представлять пару чисел (а, Ь) точкой плоскости с прямоугольными координатами. а, Ь, короче, точкой (а, Ь) и проведем через все точки (а, 0) (а ? А) оси X прямые, параллеД1Цые оси |К, а через точки (О, Ь) (Ь ? В) оси Y — прямые, параллельные .'оси X; точки пересечения этих прямых и образуют произведение [Л, В].
Произведение может быть представлено как сумма эквивалентных слагаемых (§ 6).
Обобщение произведения на случай, когда множителей больше чем два, не составляет никакой трудности. Вполне аналогично упорядоченным парам (а, Ь) определяются упорядоченные тройки (а, Ь, с): это —
1) Они не предполагаются непересекающимися и могут даже совпадать.

 

1 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика