Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хаусдорф Ф.N. Теория множеств
 
djvu / html
 

190 МЕТРИческиЕ ПРОСТРАНСТВА
С на Г (0<(\). Функция t = f(x) непрерывна. В самом деле, каждому открытому в Т интервалу (-пересечению Т с обыкновенным интервалом), т. е. [О, t), (t, 1] или (fx, fz) соответствует открытое в С множество соответственно [а, х), (х, Ь] или (Xi, *2), значит открытое в Т множество отображается в множество открытое в С, что и доказывает по § 24, II непрерывность у> (х). Таким образом V установлено.
V допускает своего рода обращение: если С связно и Т есть взаимно однозначный непрерывный образ С, то Т удовлетворяет условиям (у) или (д). Ибо разложение Т=[0, t] + [t, 1] дает разложение,
требуемое (д). Только из того обстоятельства, что Т есть взаимно однозначный непрерывный образ С, не следует ни связность С, ни существование у С счетной \ х I базы, так как (стр. 123) С может быть
,' любым множеством мощности St, в кото-
10 ром каждые две точки находятся на рас-
стоянии 1.
Но если С компактно в себе и Т есть взаимно однозначный непрерывный образ С, то С и Г гомеоморфны (§ 27, п. 7, XVIII). Следовательно:
VI. Для того чтобы С было простой дугой, необходимы и достаточны условия (а), (у) или же (а), (д).
Условия (а), (у) даны N. I. Lennes, а (а), (д') Серпинским.
Если же условие (у) заменить более слабым (/?), то требуется дополнительное условие: оно заключается в локальной связности, а именно имеет место теорема:
VII. Для того чтобы С было простой дугой, необходимы и достаточны условия (а), (Р), (е). •«
Нужно только доказать, что для каждой точки х, отличной от а и Ь (фиг. 10), существует разложение С = А + В, требуемое условием (д). Пусть
Un— U(x, —] (п = 1, 2, ...); обозначим замкнутое множество С— Un
через Fn. При достаточно большом п а, Ь принадлежат к Fn, но в силу ft — к различным компонентам Fn; пусть Рп есть содержащая a, a Qn — содержащая Ь компонента Fn (пока а ? Un, следует полагать Р„ = 0; то же касается Qn). Множества .
(в которых слагаемые возрастают вместе с п) связны и не имеют общих точек. По теореме Янишевского Рп имеет хотя бы одну точку на границе Fn, следовательно, расстояние Рп от X есть — ; следовательно, X
предельная точка как Q, так и Р; Q + Р + X связно как сумма двух связных множеств Л = Р + Х, B = Q + X. Доказательство будет доведено до конца, если покажем, что А ч В замкнуты, потому что из неприводимости ([}) тогда будет следовать, что С — Р+ Q+x=A-l-В, т. е. требуемое разложение; следовательно, остается прказать: если с ф X есть предельная точка Р, то с ? Р. Обозначим через Rn компоненту Fn,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика