Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хаусдорф Ф.N. Теория множеств
 
djvu / html
 

180 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
к нулю при п -»• оо. Выбирая все множества с п индексами непересекающимися, мы получили двоичное, совершенное, всюду разрывное множество. Теперь мы 'предположим прямо противоположное: а именно, что названные множества V, будучи расположены в словарном порядке, образуют цепочку множеств, т. е. что в
©Vp-Vj + V* @Уя=Уи+У„ + Уи+ УМ,... (2)
соседние множества имеют общие точки. Произведенное множествами V дзоичное множество
c = @vyw..v (3)
которое можно, как мы знаем, представить также в форме
Cj=®V9®Vp^V№..., (4)
мы условимся называть двоичным континуумом; это название будет оправдано последующей теоремой.
I. Жорданош континуумы тождественны с двоичными континуумами.
Обозначим Тх = О, -х- левую, Т2 = I -«- , 1 правую половину сег-
мента Т, точно так же ТР1 левую, Трг правую половину Тр, ТР31 левую, Tpq2 правую половину Тт и т. д. Если С есть непрерывный образ Т и сегментам Тр, Тт, . . . соответствуют образы Ср, Ст, . . ., 'то это суть компактные замкнутее множества (связные, т. е. континуумы), диаметры которых, по равномерной непрерывности отображения, стремятся к нулю по мере возрастания числа индексов и суммы
расположенные в словарном порядке, образуют цепочки. Таким образом жорданов континуум есть двоичный континуум.
Пусть, обратно, С есть двоичный Континуум (3). Поставим в соответствие единственной точке х = Vp V-pqVpqr . . . единственную точку t = ТРТМ Tpgr . . . Эта функция однозначна, несмотря на то, что некоторые t
(а именно получающиеся в процессе деления пополам сегментов Т
. 1 1 \ точки Г = -jj- , -т- , . . . I определяются не одной, а двумя двоичными
цифровыми последовательностями. Так, точка t=-z- принадлежит двум
а
(и только двум) пересечениям ТУГ^Т^ • • • и TzTtlTzn ... Но и соответствующие пересечения 1/1У]2У1г2. . ., ^2^21^211 • • • тождественны; в самом деле, так как У-^эО, V1ZVZ1^0, множества V^ + Уг, Via -j- V21, • • • имеют диаметры -^'2^, 282, . . ., а потому их пересечение состоит из одной точки. Далее, функция x=q>(t) непрерывна: g (x, f)
стремится к нулю, когда t — т -> 0. Действительно, если [t — т| < — ,
2
то t и г принадлежат или одному или двум соседним Т*1 (Тп — сегмент

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика