Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хаусдорф Ф.N. Теория множеств
 
djvu / html
 

170 МЕТРИческиЕ ПРОСТРАНСТВА
Таким образом в этом случае открытое ядро, край и граница суммы просто зависят от открытого ядра, края и границы отдельных слагаемых. Чтобы доказать (1), стоит только вспомнить, что вообще (гл. VI, i 23, п. 1)
Mi о А{ + Bi + . . . , Mr Q АГ + ВГ + - . . ;
•с другой стороны, пусть лг?Ж^ G(x) — связная окрестность х; G(x) содержится в одном каком-нибудь слагаемом, скажем, в Л, тогда х ? Д»,
Для доказательства (2) рассмотрим дополнение N — R — /W;
К — А = N +В + С + . . . , (R- A)r Q Nr + Вг + Сг+ . . . ,
так что Мд 2 Ад+ Вд + . . • , а по замкнутости Мд, Mff2 S. С другой стороны,
Мд С S, (3)
каково бы ни было разложение М = A -f В + ... (тут не предполагается, что разложение естественное). Действительно, если х ? Мл О (х) — связная окрестность х, то, так как х есть точка прикоснове-«ия как М, так и N, G(x) содержит точки обоих этих множеств; если, скажем, G(x) содержит точку N и точку А, то G(x) содержит и точку Ад <§23, п. 4, VII), x?S.
При естественном- разложении на конечное число слагаемых (2) упро-
щается: Mg = S = Ag+ Вд + • • '
II. Пространство локально связно тогда и только тогда, когда компоненты открытых множеств суть области.
Ибо если М открыто, то по (1) А, В, С, ... — открытые множества; в частности, открыта компонента. Если же компоненты открытых множеств суть области, то для всякой х компонента множества U (х), содержащая х, есть область, что и обозначает локальную связность.
Вот применение (3):
Связное локально связное пространство, являющееся Fn - множеством, не может быть разложено на счетную сумму непересекающихся замкнутых слагаемых. (Так как каждое полное пространство есть Fn - множество, то теорема, в частности, верна для полного /?.)
R
Допустим, что /? = /7i,+ ^72+ • • • (Fn =э 0 и замкнуты); так как связно Нп = (Fn)r n 0; Н = //i + Hz + • . . замкнуто, как дополнение 2 (Р-пЯ- Для границы /? — F, = F2 + F3 + . . . , по (3), получаем:
т, е. H2-\-Hs+ . . . плотно в Н, HI, а также каждое Нп нигде не плотно в //, что противоречит допущению, что R является Fn - множеством. Это усиление свойства связности, исключающее разбиение не только на конечное, но и "на счетное число замкнутых слагаемых, имеющее, например, место в Rn и /?°°, мы иначе установим для связных компактов (континуумов, см. дальше п. 3).

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика