Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хаусдорф Ф.N. Теория множеств
 
djvu / html
 

160 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
образуют класс борелевских (§ 18) множеств, непосредственно следующий за классом открытых множеств G и замкнутых F; в дальнейшем мы обобщим теоремы о мощности на борелевские множества всех классов.
Эти типы множеств само собой относительны, зависят от пространства /?, так что надо было бы, собственно, писать F(R), Gt(R) и т. д. Однако, если D Q R, то, снова опуская аргумент, имеем:
F(D) = DF, G(D)=DG, Fa(D) = DFa, Ge(D) = DGt,
т. е. множества данного типа относительно D суть пересечения D с множествами того же типа относительно R. Существуют также метрически абсолютные Fa, G» х), которые суть Fa, Gt относительно любого объемлющего их метрического пространства. Относительно F0 это очевидно; метрически абсолютное F0, рассматриваемое как множество, погруженное, например, в его полную оболочку, есть сумма последовательности метрически абсолютных замкнутых (полных) множеств, принадлежащих некоторому метрическому пространству, и обратно. Казалось бы, что несуществование метрически абсолютных открытых множеств свидетельствует против существования абсолютных Gt, но на самом деле это не так: три утверждения:
А есть G» в своей полной оболочке,
А есть Ga в полном пространстве,
А есть Ga в любом объемлющем его пространстве, т. е.
абсолютное Gt,
равносильны. В самом деле, если А есть G» в /?, то оно есть Gt и в каждом пространстве D, заключенном в R (A Q D g R); с другой сторонь^ если А есть Ga в своем замыкании А, то А = AG& есть G& и в пространстве R, так как А замкнуто, следовательно, есть Ga, а пересечение двух Ga есть сноза G». Отсюда следует равносильность всех трех утверждений. Принимая во внимание юнговскую теорему IV, мы будем часто абсолютные Ga называть множествами юнговскими. — После всего сказанного мы можем в формулировке наших трех теорем о мощности опустить указание на то, что идет речь о множествах, лежащих в полных пространствах, и высказать такое предложение:
V. Абсолютное совершенное множество, абсолютно замкнутое (полное) множество, абсолютное Ga (юнговское множество) имеют мощность не меньшую чем К, если только их плотное в себе ядро не пусто.
Переходя к доказательству, замечаем, что нам нужно доказать только третью теорему, две же первых получаются попутно. Мы покажем, что множества, о которых идет речь, содержат двоичный дисконтинуум ?>,
*) Метрические абсолютные множества следует отличать от топологически абсолютных, короче, просто абсолютных, т. е. таких, которые сохраняют свой тип относительно любого топологического пространства, их содержащего. Так, бикомпактные пространства абсолютно топологически замкнуты.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика