Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хаусдорф Ф.N. Теория множеств
 
djvu / html
 

140 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Докажем непрерывность обратной функции у. Пусть о (<р(а), Ф(Д))=0, покажем, что а ? А. Рассмотрим произвольную окрестность G& точки а из базы ©. Выберем, далее, в © окрестность G{ так, чтобы Gi с: G&; тогда пара (Gi5 Gk) канонична, пусть это есть Рп. Так как о (<р (я)> Ф (-А)) = О, то существует точка z = \tm(a) — tm(x)\< ~, bm(fl) — 9>
так как <рт(а) = 0, это означает, что ут(х) < 1, X ? t/ь, т. е. что каждая окрестность а содержит точки А, ч. т. д.
Принципиальное значение теоремы Урысона состоит в том, что она указывает неожиданно простой путь, приводящий от самых общих топологических образов — общих топологических пространств — к подмножествам сравнительно простого пространства If0, Именно общее топологическое пространство топологически тождественно (гомеоморфно) подмножеству R°°, если оно удовлетворяет: 1) трем аксиомам топологического пространства, 2) одной, а именно третьей, аксиоме отделимости и 3) имеет счетный базис. Этими тремя требованиями, очевидно, полностью характеризуются все подмножества R°°.
В частности, в VIII содержится первая метризационная теорема Урысона.
XI. Пространство R со счетной базой метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно.
В самом деле, необходимость содержится в VI, п. 2, § 25, достаточность — в теореме Урысона.
§ 27. Компактные и бикомпактные пространства
1. Компактные топологические пространства. Топологическое пространство R называется компактным, если каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку. В частности, всякое пространство, состоящее из конечного числа точек, тривиальным образом компактно. Всякое замкнутое подмножество F компактного пространства К есть компактное пространство, ибо каждое бесконечное подмножество множества F имеет предельную точку, которая принадлежит F в силу его замкнутости.
Подмножество М топологического пространства R называется компактным, если оно представляет собой компактное относительное пространство, т. е. если всякое его бесконечное подмножество имеет предельную точку, принадлежащую М. В литературе такие множества часто называют компактными в себе, чтобы избежать смешения с другим понятием — компактности относительно пространства R: множество М компактно

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика