Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хаусдорф Ф.N. Теория множеств
 
djvu / html
 

130 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
ность U(F), существует окрестность V (F), замыкание которой содержится в U(F).
Пусть R — нормальное пространство и U(F) — окрестность замкнутого множества F. F и Ф =]R — U(F) замкнуты и не имеют общих точек, следовательно, существуют окрестности этих множеств V(F), V (Ф) без общих точек. По V п. 2, § 22 Vf(F) и V (Ф) также не пересекаются, следовательно:
F(F) с R — V (Ф) с R — Ф = U(F).
Пусть, наоборот, для каждого F с R и (7 (F) существует такая 1/ (F), что K(F)c: U(F}. Тогда /? — нормальное пространство; в самом деле, если РФ = О, то R — Ф есть открытое множество гэ F, т. е. /? — Ф есть окрестность F; следовательно, существует такая V (F), что V(F)c LT(F) = R — Ф. Открытое множество R — V (F) => R —U (Р)=Ф и V(F) суть непересекающиеся окрестности Ф и F.
Примеры. 1) Пусть R* есть пространство, построенное в п. 3, § 21, стр. 105. Нетрудно убедиться в том, что оно есть хаусдорфовское
пространство и что множество ?> = {-у-, -=- , -«-',• • •} замкнуто
в нем (ибо не имеет предельной точки). Замыкание всякой окрестности множества {0} содержит точки D; поэтому наше пространство нерегулярно.
2) Рассмотрим пространство R, состоящее из точек х = (Xj, Х2) полуплоскости х2> 0, в котором окрестности точек, у которых ха>0 суть обыкновенные е-окрестности (е<х2), а окрестность любой точки а = (Xi, 0) есть множество вида V(a) = {a} + U, где U внутренность любого круга, касающегося оси Хц в точке а (с центром в полуплоскости Х2> 0). Нетрудно видеть, что R есть топологическое пространство [выполнены условия А), В), С) п. 4, § 22] и притом регулярное. Оно не нормально, так как замкнутые (не имеющие вовсе предельных точек) множества D и / рациональных и иррациональных точек оси хх не могут быть отделены непересекающимися окрестностями, как это легко доказать с помощью учения о категориях, развитого в п. 6, § 28 (точнее говоря, с помощью замечания, что / второй категории на прямой Xj=0).
VI. Все метрические пространства нормальны.
Пусть Fj, F2 — два замкнутых непересекающихся множества метрического пространства /?; точка х, входящая в одно из них, не будучи точкой прикосновения другого, находится от этого другого множества на положительном расстоянии, которое мы обозначим через 2дх. Положим
U (Fj) = 6 U (х, дх), U (F2) = 6 U (х, дх), х е FI X&FZ
так как если у (j U (Fx) U (F2), то можно найти такие точки хг (j Flt Х2 ? F2, что

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика