Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хаусдорф Ф.N. Теория множеств
 
djvu / html
 

120 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
нентой М. Мы получаем компоненту, если образуем множество М(х) всех точек М, которые могут быть соединены с некоторой точкой X ? М, или, иначе, сумму всех содержащих х связных подмножеств М (эга1 сумма связна по IV). М(х) может приводиться к одной точке X. Две компоненты М(х), М(у) по II либо совпадают, либо не пересекаются. Таким образом мы получаем разложение М на компоненты:
Л* = М(х) + М(у)+..., (2)
причем компонент может быть только одна (если М связно) или несколько (конечное или бесконечное .число).
Примеры. Гипербола состоит из двух компонент. В множестве всех иррациональных чисел числовой прямой все точки суть компоненты.
Множество, все компоненты которого суть точки, называется вполне несвязным, а множество, не содержащее бесконечных замкнутых связных подмножеств. — всюду разрывным 1). Первое требование сильнее (примеры см. § 32, § 38, 5).
V. Если М связно, то связно и всякое множество JV, содержащее М и входящее в М.
Разложению N =N1 + N2 на замкнутые в N . множества соответствует разложение М = Л1г + /W2 на замкнутые в М множества; пусть, скажем, /W2 = 0, ЛГ1 = ЛГ, М Q ЛГХ S М; Nl = M, и по замкнутости ЛГ, в N: __
JV1 = JVN1 = JVyM== JV, JV2 = 0.
VI. Компоненты М замкнуты в М. Пусть Р компонента М; так как Р Q МР Q Р, то по V МР связно, а по максимальности Р : МР = Р.
VII. Связное множество С, соединяющее две точки а, Ь двух дополнительных множеств А, В, (А + В — R) пересекает границу этих множеств.
Ибо если бы (М„ = С(А. + Яг) = 0, то имели бы С = СЛ4+СВь это есть разбиение С, ибо САг и CSj оба открыты (замкнуты) в С.
§ 24. Отображения топологических пространств
Как и в § 2, мы будем исходить из некогорого множества Р упорядоченных пар (х, у); обозначим через X, У соответственно множества элементов х и у. Каждому х ? X поставлены в соответствие один или несколько Ъбразов у = <р (х), именно те элементы у, которые вместе с данным х образуют пару (х, у) ? Р; точно так же каждому у ? Y соответствуют один, или несколько прообразов х = у (у). Таким образом мы имеем две взаимно обратные, в общем случае многозначные функции q>, у> и определенное этими функциями отображение множеств X, У; порожденная упорядоченностью пар (х, у) и сохраненная в наших терминах (образ, прообраз) несимметричность пока не существенна.
Функции точки <р, if) приводят нас естественным путем к функциям множеств Ф, 3": множеству М S X соответствует его образ Ф(М)
1) Эта терминология не общепринята.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика