Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Хаусдорф Ф.N. Теория множеств
 
djvu / html
 

10 МНОЖЕСТВА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Основное отношение вещи а и множества А, которому она принадлежит, мы, следуя Пеано, будем выражать словами: а есть элемент А, а формулой: а ? А.
В противном случае скажем: а не есть элемент А и запишем а ? А.
По определению два множества А и В равны: А = В (тождественны) тогда и только тогда, когда каждый элемент А есть также и элемент В, н наоборот (следовательно, когда эти множества имеют одни н те же элементы). В силу этого множество однозначно определено своими элементами; пользуясь этим, мы будем обозначать множество его элементами, заключенными в фигурные скобки, причем невыписанные элементы будем заменять точками. Так,
А = {а}, А = {а, Ь], А = {а, Ъ, с}
суть множества, соответственно состоящие из одного элемента а, двух элементов а к Ь, трех элементов а, Ь я с,
А = {а, Ь, с,...},
есть множество, состоящее из элементов а, Ь, с и, может быть, еще некоторых других. Каковы эти другие, обозначенные точками элементы, должно быть, конечно, как-нибудь указано, например:
множество натуральных чисел {1, 2, 3,...},
множество натуральных четных чисел {2, 4, 6, . . .},
множество квадратов целых чисел {1, 4, 9,. ..},
множество степеней двух {1, 2, 4, 8, .. .},
множество простых чисел {2, 3, 5, 7,. . .}.
Теоретически необходимо различать вещь а и множество {а}, содержащее только один элемент а (практически это иногда и не существенно), хотя бы потому, что мы допускаем множества (системы), элементы которых сами суть множества. Множество а = {1,2} состоит из двух элементов 1, 2; множество {а} состоит из одного элемента а.
Для удобства мы введем также множество 0, которое не содержит ни одного элемента и которое мы будем называть пустым множеством*). По определению равенства™' мшж&тьГ'Тущёс'твует только одно пустое множество. А = 0 обозначает, что множество А не имеет ни одного элемента, что оно пусто, что оно „исчезает". Если бы мы не ввели пустого множества, нам часто пришлось бы, говоря о какой-нибудь множестве, прибавлять оговорку: если оно существует. Ибо часто элементы множества бывают определены так, что неизвестно, существуют они нйи нет; например, до сих пор неизвестно, пусто или нет множество натуральных чисел п, для которых уравнение х"+2 + У"+г = 2П+2 разрешимо в натуральных числах (т. е. верна или нет знаменитая теорема Ферма).
Таким образом утверждение, что А = 0, может иногда иметь положительное познавательное содержание, хотя, конечно, часто сводится к тривиальности; многим, а если не избегать искусственных ухищрений,
J) Будет ли символ 0 обозначать пустое множество или число нульд всякий раз будет ясно из контекста.

 

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300


Математика