Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Привалов И.И. Субгармонические функции
 
djvu / html
 

SO ПРИНЦИП МАКСИМУМА И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ [гл. IV
тельно, в противном случае существовала бы последовательность точек .Р1? Я2, ..., Яга, ... области D такая, что последовательность чисел и (Pi), и (Я2), .. ., и (Я„), ... неограниченно возрастает. Обозначим через Я* предельную точку последовательности Рп. Точка Я* не может лежать внутри области D, потому что в достаточно малой окрестности •точки Я* полунепрерывная сверху функция и (Я) должна была бы быть меньше, чем а(Я*)-{-1; точка Я* не может принадлежать и границе области D, так как в достаточно малой окрестности точки Я* наша функция по условию меньше, чем С-j-l. Следовательно, точки Я* не существует, и наша функция ограничена сверху.
Пусть М — верхняя граница функции и (Я) в области D. Так как субгармоническая функция не может достигать максимума внутри области, то М должно быть также верхним пределом значений «(Я) в области D, т. е. должна существовать последовательность точек Pv РУ .. ., Я„, .. . такая, что и(Рп) -> М. Если последовательность Plt Я2, ..., Рп, ... имеет предельную точку Я* внутри области D, то вследствие полунепрерывности сверху имеем и (Я*) = М\ в этом случае и (Я) достигала бы наибольшего значения в точке Я*, что возможно для субгармонической функции только тогда, если она есть постоянное, равное Щ. Но тогда неравенство и (Я) < С -\- s, имеющее место в окрестности всякой граничной точки, показывает, что М<,С-\-е. Так как М и С — постоянные, не зависящие от произвольно малого положительного числа е, то М ^ С.
Если же последовательность точек Я1( Я2, ..., Рп, ... имеет предельную точку Я* на границе области D, то всякому положительному -числу s соответствует целое N такое, что для п > N осуществляется неравенство и (Яп) < С-f- s; заставляя п неограниченно возрастать и переходя к пределу, снова получим Af<;C-f-s, откуда ЛГ<С, так как г произвольно. Итак, показано, что во всех случаях М <^С, т. е. и (Я) <; С. Если в некоторой точке Я0 имеет место равенство и (Я0) = С, то субгармоническая функция и (Я) достигает наибольшего значения С в точке области D, и, следовательно, она тождественно равна постоянному С (§ 1).
п° 2. Полагая в доказанном предложении и (Я)=1/(г) (, получим, в частности:
х Пусть f(z) — аналитическая функция в области О. Предположим, что \f(z)\ на границе области D не превосходит С, где С—некоторое постоянное.
При этом условии во всякой точке области D имеет место неравенство \f(z)\^.C. Если в некоторой точке ZQ области D мы имели бы равенство \f(zQ) \ = (?, то f(z) было бы тождественно равно постоянному модуля С[2].
§ 4. Второе расширение принципа максимума
п° 1. Пусть и (Р) — функция, обладающая свойствами:
1) «(Я) — субгармоническая в области D;
2) в граничных точках, не принадлежащих некоторому множе-?тву Е, функция и (Р) не превосходит С, где С—некоторое постоянное]

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200


Математика