Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Привалов И.И. Субгармонические функции
 
djvu / html
 

70 СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
случай теоремы о среднем значении. Теперь мы ему дадим другое доказательство, идея которого весьма плодотворна. В самом деле, наибольшее значение М (р) произвольной субгармонической функции и на сферах радиусов р, К1 < р < /?2 можно рассматривать как верхнюю1 огибающую семейства субгармонических функций, полученных из данной функции и (Я) путем всевозможных вращений, "переводящих сферы самих в себя.
Эта верхняя огибающая на сфере радиуса р сохраняет постоянное
значение М (р); с другой стороны, она должна быть субгармонической
, функцией. Чтобы обнаружить последнее, достаточно показать (гл. III,
§ 6), что /И(р) внутри кольца есть функция, полунепрерывная сверху,
т. е., что при ри->р, мы имеем М (ри)— М (р) < г.
Действительно, допуская противное, имели бы М (ри) — М (р) ^ г при ри-> р. Полагая М (р„) = и (Р„), М (р) = и (Р), обозначим через Р^ предельную точку последовательности Рп. Не уменьшая общности, можно считать Рп —> Р,,. Заметив, что а (Р>.) ^ а (Р) и что и (Р) полунепрерывна сверху, получим
М (Ря) — М (р) = a (PJ - а (Р)< « (Я,) + s - и (Р) < в,
откуда противоречие, что доказывает полунепрерывность сверху М (р) внутри кольца.
Итак, М (р) есть субгармоническая функция внутри сферического
кольца, имеющая постоянное значение на каждой сфере.ОР=р.
Следовательно, по теореме о среднем значении, М-(р) должна быть выпуклой функцией относительно In р (при р==У) или относительно
2 (в случае р > 2), из последнего же следует непрерывность функции М (р) относительно р при любом Р.
п° 4. Если и (Р) — субгармоническая функция в области D, то Мг и (Р), равная максимуму u(Q) в шаре с центром Р радиуса г, есть функция, также субгармоническая. Само собой понятно, что Мги(Р) определена в области GcD, расстояние границы которой от границы области D больше г. Очевидно, это предложение эквивалентно следующему: если и (Р) — логарифмически-субгармоническая в области D, то Мг и (Р) есть функция, также логарифмически-субгармоническая.
Чтобы доказать это последнее предложение, прежде всего заметим, что в силу теоремы о трех сферах Мг и (Р) есть функция точки Р полунепрерывная сверху. В самом деле, предполагая PPj < 8, опишем из точки Р как центра шар радиуса г -{-8 и обозначим через Мг + $и(Р) максимум функции и в этом шаре.
Очевидно, имеем Мг + <> и (P)~^Mr a(Pj), и, по теореме о трех сферах,
Мг + 5 U (Р) = МТ U (Р) + 8 (6, Р),
где s (8, Р) -> 0 вместе с 8.
Следовательно, начиная с достаточно малого 8, Мг и (Р±) — — Мг и (Р) ^ s (8, Р) < е, где г>0 — сколь угодно малое число. Это и доказывает полунепрерывность сверху в точке Р функции Мг и (Р).

 

1 10 20 30 40 50 60 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200


Математика