Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Привалов И.И. Субгармонические функции
 
djvu / html
 

60 СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
/
Докажем, что внутри области G также имеем
В самом деле, на границе области G будет
и(Р)<1п V(P).
Легко обнаружить, что 1п V есть функция, супергармоническая. внутри G, так как
V = --±sb(V, V)<0.
Функция и (Я) — In V(P) есть субгармоническая внутри области G как сумма двух субгармонических функций и и — In V; на границе этой области она не больше нуля. Следовательно, тождественный нуль должен служить ее гармонической мажорантой, и внутри области G эта функция не может иметь положительных значений.
Итак, и < In V внутри области G, а; значит, v = ew <; V, что и требовалось доказать.
Иначе доказанное предложение можно формулировать так: если ]nv есть функция, субгармоническая в области D, то v — и подавно субгармоническая. Обратная теорема не справедлива, т. е. v может быть субгармонической, a In ч; — нет; например, если v — гармоническая функция, то In г; будет супергармонической функцией. , Таким образом выделяется весьма важный класс логарифмически-субгармонических функций, т. е. субгармонических вместе со своим логарифмом.
Так, например, |/(г)|, где f(z) — аналитическая функция в области D, будет логарифмически -субгармонической в той же области, так как 1п|/(г)| есть функция субгармоническая.
п° 2. Мы знаем, что сумма двух субгармонических функций есть функция субгармоническая. Что касается произведения субгармонических функций, то оно, вообще говоря, не дает субгармонической функции; например произведение двух гармонических функций и(Р) и v(P) может иметь диференциальный параметр Лапласа:
г;)
переменного знака в области и, следовательно, не представляет функции субгармонической.
Таким образом свойство субгармоничности сохраняется при сложении и, вообще говоря, нарушается при умножении.
В связи с этим весьма важно доказать, что свойство логарифмической субгармоничности сохраняется как при сложении, так и при умножении.
Действительно, очевидным является инвариантность логарифмической субгармоничности при умножении, так как если 1пи(Р) и lnv(P) субгармонические, то и In и (Р) v (Р) = In и (Р) -f- In v (Р) есть субгармоническая функция.
Остается доказать, что при сложении двух логарифмически-субгармонических функций всегда получается логарифмически-субгармони-

 

1 10 20 30 40 50 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200


Математика