Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Привалов И.И. Субгармонические функции
 
djvu / html
 

50 СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. III
•*«-{*.,
какова бы ни была сфера о с центром в начале координат радиуса р < К и какова бы ни была функция и данного семейства и где
если ы(Р)>0, ;(Р), если ы(Р)<0.
В этом случае предельными функциями нашего семейства будут гармонические функции или тождественно равная -]- оо. Этот результат вытекает из доказанного предложения путем изменения знака у функций семейства.
Замечание 2. Приведенное доказательство непосредственно переносится на тот общий случай, когда функции семейства определены в некоторой произвольной области D, причем условие (I) нужно заменить следующим:
Ju+(P)dG(^n'P)d3 или соответственно
лп"л-Р)аа<С> (П/)
где (\ есть любая поверхность уровня G(P0; P) = X; G(P0; Р) — функция Грина области D с особенностью в фиксированной точке
Р — Р " — 'о-
п° 9. Приложим принцип компактности гармонических функций, разобранный в предыдущем пункте, к доказательству предложения Лиувилля.
'Гармоническая функция и(Р) во всем пространстве точек Р(хг, х%, ... , хр), р^*2, удовлетворяющая условию
C или -l
где интегрирование распространено по любой сфере о с центром в начале координат, есть константа.
Действительно, отправляясь от данной гармонической функции и(Р) = а(лг1, х2, ... , Хр), рассмотрим семейство {ип(Р)} функций, гармонических внутри шара ОР<1, полагая для всякой точки Р, ОР<\,
ип(р) = ип(х1, *2,..., х^ = и(пх1г лх2,..., пхр),
где я= 1, 2, 3,...
Функции рассматриваемого семейства будут удовлетворять условию принципа, доказанного в п° 8 и, следовательно, образуют компактное семейство. Таким образом из нашего семейства можно выбрать последовательность гармонических функций, — обозначим их снова через ип,—равномерно сходящуюся во всяком шаре Sr, г<1, к гармонической функции U(P~), причем U(O) = u(O). Пусть Q — любая точка пространства с координатами ai, a2,..., ap. Согласно условию
(а\ °2 av \
Т' Т'---' -ц)-

 

1 10 20 30 40 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200


Математика