Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Привалов И.И. Субгармонические функции
 
djvu / html
 

40 СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. Ш
Взяв модули от обеих частей, получим
2it
о т. е. условие (А).
п° 2. Если f (г) — функция, аналитическая в области D, то ln|/(z)| есть функция, субгармоническая в той же области.
В самом деле, во-первых, In |/(г)| есть функция, полунепрерывная сверху, обращающаяся в — сю в нулях функции /(г); во-вторых, условие (А) выполняется для каждой точки z области D. Если/(г0) = О,. то неравенство (А) очевидно, потому что In \f(z0)\ = — сю. Если же /(.г0)фО, то In |/(г)| в окрестности точки 20 можно рассматривать как гармоническую функцию, и, следовательно, неравенство (А) обращается в равенство.
п° 3. Введем условное обозначение: ln+ a = In а, если а > 1 ; 1п+а = 0, если а^1.
Выражение 1п+ а называется положительным логарифмом числа а, Покажем, что 1п+ |/(z)| есть функция, субгармоническая в области D, если f(z) есть аналитическая функция в этой области. Действительно,. ln+|/(z)| есть верхняя огибающая двух субгармонических функций In |/ (?)| и тождественного нуля.
§ 8. Теорема о среднем значении
' $
п° 1. Пусть и (Р) есть функция, субгармоническая в области D.
Рассмотрим ее среднее значение
где интегрирование распространено на сферу <з с центром в точке Р0 радиуса р, P0c.D, и докажем, что J(p)— функция, не убывающая относительно р, если р изменяется matt, что соответствующая сфера вместе с внутренностью остается заключенной в области.
Сверх того, J(p) есть функция, выпуклая относительно ——_^~
(р > 2) и относительно In р (р = 2). Последнее справедливо даже в более общем случае, когда точка Р0 принадлежит или не принадлежит области D, радиус же р изменяется так, чтобы соответствующие сферы образовывали сферическое кольцо, внутреннее к области.
Что касается первой части этой теоремы, — возрастания J(p),— то пусть PJ и р2 (р1<р2) —два рассматриваемые радиуса, определяющие две соответствующие им сферы. Обозначим через U(P) наилучшую гармоническую мажоранту функции и (Р) для наибольшей из этих двух сфер. Тогда будем иметь на другой сфере u^_U и, следовательно,
ч. т. д.

 

1 10 20 30 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200


Математика