Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Привалов И.И. Субгармонические функции
 
djvu / html
 

30 СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. I
функцию и(Р) субгармонической в области D, выберем за область < шар радиуса р с центром Р0, принадлежащий области D. Определи гармоническую функцию U(P) внутри этого шара, совпадающую н его поверхности Г с данной функцией и (Р), т. е. Uf (Р) = и (Р). Короч говоря, мы решим задачу Дирихле для выбранного шара, приняв грг ничные значения совпадающими со значениями и(Р). По теореме Гаусса для гармонической функции U(P) имеем
JL
It 2 я — 1
где о = - ррг есть площадь поверхности нашего шарг
Согласно условию, на сфере о имеем U(P)==u (P) и, значит,
(V
С другой стороны, вследствие субгармоничности и (Р) внутри шар и (Р) не превосходит U (Р), а значит, в частности, в его центре
. (2 Из соотношений •(!') и (2) вытекает
(A
Следовательно, необходимым условием субгармонической непрерывно! функции и (Р) является выполнение неравенства (А) в каждой точке Р области D, начиная с достаточно малого радиуса р сферы.
Замечательным является то обстоятельство, что соотношение (А одновременно представляет /и достаточное условие, для того чтобь непрерывная функция была субгармонической. Итак, предполагая не прерывность функции и(Р), докажем, что условие (А) является одно временно и достаточным для субгармоничности функции. Возьме» произвольную область О, принадлежащую D, и построим гармоническук функцию U(P) внутри1 G, непрерывную в G, удовлетворяющую на границе Г области G условию UT(P) — u(P). Покажем, что при соблюде
нии условия (А) всюду внутри G имеем u(P)^U(P). Допуская противное, предположим, что и(Р) > U(P) в некоторой точке Р области G Тогда разность
в этой точке будет положительной. Так как на границе Г — функция d (P) исчезает, будучи непрерывной в замкнутой области G, то она достигает максимального значения М > 0 внутри области G. Множество F всех точек, внутренних к области G, в которых d = M, есть замкнутое.
Обозначим через Р. любую граничную точку этого множества F,

 

1 10 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200


Математика