Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Привалов И.И. Субгармонические функции
 
djvu / html
 

} ОБОБЩЕННЫЙ ПАРАМЕТР ЛАПЛАСА [ГЛ. I
__ _ __ t-ij
*й(Р,). Замечая, с другой стороны, что lim Д,ДР0Р22 — К2) :. "
j2 — -R2) — 2р, мы получим 0 > К*и (Р2) + -- , что противо-
ёчит условию теоремы. Аналогично мы докажем, что /(Р) не может меть отрицательных значений.
Следствие. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы Ьункция и (Р), непрерывная в области D, была гармонической в этой >бласти, состоит в том, чтобы во всякой точке удовлетворялось >словие Д,,и (Р) — 0, начиная с достаточно малого h.
п° 2. Итак, мы имеем такое определение гармонической функции:
Функция и (Р) называется гармонической в области D, про-
странства р^-2 измерений, если она удовлетворяет условиям:
j) и (Р) непрерывна в области D, б) во всякой точке Р области
1 Г
и (Р) = — /а (Ж) d<», начиная с некоторого достаточно малого h, где h *> J
ш
есть радиус шара с центром в точке Р объема ю. Известна, что условие б) для гармонической функции, согласно свойства Гаусса, может
быть заменено следующим: и(Р) = — I и (Ж) da, где a — площадь по-
з
верхности, ограничивающей шар ю. С другой стороны, мы видели, что и, обратно, из последнего равенства вытекает условие б). Следовательно, мы можем сказать, что функция и (Р) называется гармонической в области D, если она удовлетворяет условиям: а) «(Р) непре
1 Г рыена в области О, б') во всякой точке Р области и (Р) — — / и (/И) do
, a
начиная с некоторого достаточно малого h радиуса сферы о с центре! в точке Р.
Любопытно ^ отметить, что в обоих определениях гармоническо функции условие а) может быть отброшено, так как оно автоматическ выполняется в силу б) или б')1). В самом деле, мы уже видели, чт из условия б') вытекает условие б). Поэтому достаточно убедитье что выполнение условия б) влечет непрерывность функции в области L Для этого возьмем точку Р' , бесконечно близкую с точкой Р, и з; метим, что разность а(Р') — и(Р) будет' бесконечно малой, так кг она изображается интегралом, распространенный на бесконечно малу область. Итак, по определению, функция и (Р), конечная в кажд<. точке области D, называется гармонической в области D, если of удовлетворяет условию; б) во всякой точке Р области и (Р) =
= — / и (М) dm, начиная с некоторого достаточно малого h радиу
ш
шара объема со с центром в точке Р, или условию б') во всяк точке Р области и(Р) = — Г и (Ж) ds, начиная с некоторого дост
5
точно малого h радиуса сферы площади о с центром в точке
1) Предполагая, само собой, что рассматриваемые интегралы имеют CMI по Лебегу.

 

1 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200


Математика