Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Привалов И.И. Субгармонические функции
 
djvu / html
 

180 ПРИЛОЖЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОГО АППАРАТА [ГЛ. II
Иными словами, функции и и v — гармонические, а значит, и U (г) — функция, гармоническая во всей плоскости. Вспомнив, что
о мы из формулы Пуассона
найдем
Так как по условию -z-/l U+ (pe<9) db = С, то из предыдущего нера-
о венства, заставляя р неограниченно расти, получим:
Последнее справедливо, какова бы ни была точка г. Следовательно, гармоническая функция U(z) должна быть ограниченной сверху во всей плоскости, что, как известно из ч. I, гл. III, § 6, может быть только в случае, когда U(z) тождественно равна постоянному, что и требовалось доказать.
п° 2. Принимая, в частности, и{г) = \п \/{г) \ , где f(z) — меро-морфная функция, предположим, что
где-п(г, оо) — число полюсов внутри круга |г|<г, удовлетворяет условию: 7(р) = о (1пр). При этом условии мы можем заключить: /(г) есть постоянное.
п° 3. В ч. I, гл. III, § 9 была рассмотрена, теорема Лиувилля для гармонических функций в пространстве любого числа р ^ 2 измерений. В настоящем § мы видели, как широко обобщается это предложение для класса субгармонических функций во всей плоскости. Для пространства р ~^- 2 измерений представляется интересным отметить следующую теорему: не существует функции и(Р), отличной от константы со следующими свойствами:
1) и(Р) непрерывная функция во всем пространстве, имеющая гармонический характер в окрестности бесконечно удаленной точки;
2) и(Р) не имеет экстремальных значений во всем пространстве;
3) и (Р) < С во всем пространстве.
Предполагая и(Р) отличной от константы придем к противоречию.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 200


Математика