Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Привалов И.И. Субгармонические функции
 
djvu / html
 

160 АНАЛИТИЧ. АППАРАТ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛ. СУБГАРМОНИЧ. ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
и* (Q) лишь на гармоническую функцию внутри ?>', и, следовательно, .согласно доказанной общей теоремы имеем
Q), (33)
D'
где h' (Q) — функция, гармоническая в области ?>'.
Очевидно, h' (Q) есть гармоническая мажоранта функции u(Q) в области ?>'; из результата следующего параграфа будет вытекать, что h' (Q) есть наилучшая гармоническая мажоранта в области D' для субгармонической функции u(Q).
Таким образом формула (33) является обобщением классической «формулы, выведенной в § 1.
§ 8. Основная формула для представления субгармонической функции во всей области [27]
п° 1. Пусть u(Q) — субгармоническая функция в области D т р(е) — ей соответствующая функция множества. Рассмотрим обоб-лценный интеграл Стильтьеса
(34)
•где интегрирование производится относительно точки Р; интеграл распространен на всю область D и определяется как предел интегралов
%(Q)=/G(P; Q) rfjb (35)
°k когда области Dk стремятся, возрастая, к области D, ''•
Так как разность О (Р; Q) — * _2 (р > 2) или О (Р; Q)— In JL (р —
«= 2)— гармоническая функция относительно точек Р к Q (см. Введение, § 2), то интеграл (35) существует почти для всякой точки Q области D и отличается от — "(Q) на гармоническую функцию в Dk (§ 7, п° 2).
Когда области Dk стремятся, возрастая, к области Д функции vk (Q) также возрастают, а следовательно, возрастают функции hk(Q) = == vk (Q) 4~ a (Q)> гдрмонические в областях Dk.
Согласно теореме Гарнака (ч. I, гл. I, § 3), могут представиться .лишь два случая; либо эти функции hk(Q) стремятся к предельной функции h (Q), гармонической в области Д либо они имеют своей предельной функцией тождественную -(- со. Только в первом из этих двух случаев интеграл (34) имеет смысл, и имеем тогда
(36)
Посредством обычного в таких случаях рассуждения можно пока-.зать, что предел интегралов (35), т. е. функция v(Q) не зависит от •частного выбора последовательности областей Dk.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 180 190 200


Математика