Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Привалов И.И. Субгармонические функции
 
djvu / html
 

150 АНАЛИТИЧ. АППАРАТ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛ. СУБГАРМОНИЧ. ФУНКЦИЙ [ГЛ. t
для множества меры нуль. Таким образом мы придали точный смысл интегралу (17) или (18); потенциал u*(Q), определяемый этим интегралом, по построению есть предел убывающей последовательности субгармонических функций; следовательно, он сам есть функция субгармоническая.
Аналогично потенциал отрицательного слоя —ji (е) есть функция супергармоническая; действительно, чтобы его получить, нужно только изменить знак у a*(Q).
п° 2. Наконец рассмотрим отдельно частный случай, когда слой у- (е) допускает функцию плотности р (Р) = р (|j, ?2, ..., ?р), т. е. существует функция р(Р), интегрируемая в смысле Лебега, такая, что имеем для всякого множества
у.(е) =
В этом случае разность между суммой (16) 2/(^й)!1 (ей) и интегралом J/(P)p(P)fifoj по абсолютной величине не может превзойти суммы
Е т
2 «"^(б^), где <пй обозначает колебание равномерно непрерывной
функции /(Р) на множестве ek; таким образом, когда переходим от суммы (16) к интегралу Стильтьеса, наша разность стремится к нулю. Следовательно, имеем
Прилагая это равенство к функциям /ге(Р; Q), которые мы выше рассматривали и которые, возрастая, стремятся к — р_2 (р > 2) или
In -=r (р = 2), будем иметь посредством второго перехода, к пределу
PQp
&
или
= - Г ^_ = _ /-Щ* (р>2) ./ POP-3 J POP-2
Е
§ 5. Аппроксимация субгармонической функции [27]
п° 1. Чтобы распространить классический результат § 1 о представлении субгармонической функции на общий случай произвольной субгармонической функции, нам необходимо, кроме введенного в предыдущем параграфе понятия потенциала, рассмотреть метод аппроксимации субгармонической функции помощью субгармонических функций, имеющих непрерывные частные производные до второго порядка вклю-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 170 180 190 200


Математика