Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Привалов И.И. Субгармонические функции
 
djvu / html
 

НО ПОДЧИНЕННЫЕ СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VI
Условимся называть функцию и (z) подчиненной в круге \ z \ < I субгармонической функции U(z), если имеет место соотношение
где ш (z) есть голоморфная при \ z \ < 1 , причем ш (0) = О, | со (г) \ < 1 . Функция U(z) по отношению к «(г) носит название подчиняющей [2; 12; 17].
§ 2. Принцип средних значений
п° 1 . Если субгармоническая функция и (z) подчинена в единичном круге субгармонической функции U(z), то имеет место неравенство
2* 2гс
и (Р«)<Л< ?/(Р<Я, (1)
о о
каково бы ни было р<1, причем знак равенства при некотором значении р = р0 возможен лишь в случаях, когда либо U(z) есть гармоническая функция при |г|<р0, либо <о (z) ~ zeia .
Для доказательства обозначим через g(z) и G(z) наилучшие гар-моническ-ie мажоранты функций u(z) и U(z) для круга |г|<^р. Заметив, что
2it v ; 2lt
i / « (ре**) Ж = i / ?(РЛ ^6 =
и(?е) ^6=0 (Pe) db = G (0), о о
мы докажем первую часть нашего предложения, если установим неравенство ^(0) и (ре") = U [ш (р*<в)] < G [ш (ре**) ]
(последнее в еилу неравенства Шварца | ш (ре*9) | <; р; гл. IV, § 2), то
[ ч. т. д.
Чтобы доказать вторую часть, заметим, что равенство g(0)=G(0)
возможно лишь в случае, когда U [ш (р0е* )] =s G [о> (р0е* )] . В этом случае вовможно одно из двух: либо | со (р0е ) | < р0, и тогда по принципу гармонической мажоранты (гл. V, § 1) U(z) = G(z) при |г|<р0, либо | ш (р0 г*9) | = р0, и тогда <л(г)^гел вследствие леммы Шварца. Таким образом и вторая часть нашего утверждения доказана [2; 12; 17]. п° 2. Предполагая, что и (z) подчинена в единичном круге функции ?/(г)>-0, мы немедленно заключаем, что UP(Z), р > 1, подчинена

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 130 140 150 160 170 180 190 200


Математика