Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Привалов И.И. Субгармонические функции
 
djvu / html
 

100 ПРИНЦИП ГАРМОНИЧЕСКОЙ МАЖОРАНТЫ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. V
область D/, возрастая, стремится к предельной области D. Последовательность гармонических функций Gr (Р) в каждой точке Р области D будет неубывающей, потому ч го если /"j О2 и PaD'r, то Org, наилучшая гармоническая мажоранта для области D'r2, является в то же время мажорантой для с(бласти Df и, следовательно, не может быть меньше наилучшей гармонической мажоранты для области D'n, т. е. ОГ2^>ОГ1. По теореме Гарнака (гл. I, § 3) возможно одно из двух: либо предельная функция последовательности Gr есть гармоническая функция G в области D, либо эта предельная функция тождественно равна -j- со.
В первом случае мы скажем, что данная субгармоническая функция имеет в области D наилучшую гармоническую мажоранту G (Р) J), во втором случае, — что она не имеет гармонической мажоранты в полной области D. Итак, функции субгармонические в области D можно разбить на два класса: одни имеют гармонические (а значит, и наилучшие) мажоранты во всей области D, другие — не имеют. В гл. III, § 7 мы показали, что для того чтобы субгармоническая функция и (Р) внутри шара ОР < /? имела гармоническую мажоранту, необходимо и достаточно выполнение условия
где интегрирование распространено по поверхности сферы а радиуса р < /? с центром в точке О.
§ 6. Критерий разложимости субгармонической функции на сумму двух слагаемых [17; 9]
п° 1. Рассмотрим функцию «(Р), субгармоническую в области D, и спросим себя, при каком условии она представима в виде
М(Р) = Й(Р) + А(Р), (I)
где и (Р) — субгармоническая отрицательная функция, a h (Р) — гармоническая положительная функция. Для вывода этого условия положим
н+(Р) = и(Р), если м(Р)>0,
м+(Р) = 0, если м(Р)<0.
Очевидно, м+ (Р) как верхняя огибающая функций и (Р) и нуля есть субгармоническая функция. Легко видеть, что необходимым и достаточным условием для разложения (I) является то, чтобы субгармоническая функция и+ (Р) имела гармоническую мажоранту во
J) Если бы G (P) не была наилучшей мажорантой, то существовала бы точка Р0, в которой G (P0)> U (Р0), где U (/^—некоторая гармоническая мажоранта в области D. Отсюда вытекает, что для некоторого г будет Or (Pu)>JJ (РО), что невозможно, так как U (P) есть подавно мажоранта для области D/.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200


Математика