Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Привалов И.И. Субгармонические функции
 
djvu / html
 

10 ВВЕДЕНИЕ [§ 1
где Р и Q удовлетворяют уравнениям Коши-Римана (Cauchy-Riemann):
<>Р-— Диференцируя первое из этих \ уравнений относительно х, а второе — относительно у и складывая результаты, получим
д'Р . д*Р __„
<э*2 ~г дуз — и-
Следовательно, действительная часть Р(х, у) функции /(г), аналитической в области D, есть гармоническая функция в этой области.
Обратно, пусть Р(х, у) данная гармоническая функция в одно-связной области; из уравнений (С — R) Коши-Римана можно найти сопряженную гармоническую функцию Q(x, у), которая определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого, и тем самым иостроить функцию f(z) = Р (х, у) -j~ iQ (x, у), аналитическую в области D.
Таким образом, чтобы Р,(х, у) была гармонич'еской функцией в односвязной области, необходимо и достаточно, чтобы она была действительной частью аналитической функции в этой области.
п° 2. Пусть теперь f(z) аналитическая функция в односвязной области D, нигде в этой области не равная нулю. Тогда 1п/(.г) = = 1п|/(г)[-}-/ arg/-^) можно рассматривать как функцию аналитическую в области D. Следовательно, по предыдущему, In \f(z) ] есть гармоническая функция в области D.
Обратно, всякую гармоническую функцию Р(х, у) в односвязной области D можно представить в виде In \f(z) |, где f(z) аналитическая функция в этой области, не обращающаяся в нуль. Действительно, по данной гармонической функции Р(х, у) находим сопряженную с ней гармоническую функцию Q (х, у) и, полагая /(г) = «случаем
!/(*)! =
откуда
Р(х, y) =
п° 3. Это предложение, связывающее аналитические функции с гармоническими, позволяет, зная принцип максимума для модуля аналитической функции, установить принцип экстремума для гармонической функции, формулируемый таким образом:
Гармоническая функция, отличная от постоянного, не может достигать максимума или минимума во внутренней точке области. В самом деле, Р (х, у) = In | /(г) ) достигает экстремума одновременно с |/(г)|, а модуль функции, аналитической в области, не обращающейся в нуль нигде в этой области, не может достигать максимума или минимума во внутренней точке области.
Из этого экстремального принципа гармонических функций немедленно вытекает единственность решения так называемой задачи Дирихле (Dirichlet), состоящей в следующем. На границе некоторой области D .задана непрерывная последовательность значений. Требуется найти функцию, гармоническую в области D, непрерывную в замкнутой

 

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200


Математика